§ 4. Степенные ряды

1. Определение степенного ряда

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(6.7)

где х – независимая переменная;

х₀ – фиксированное число;

а₀, а₁, а₂,…, а_n,…  действительные числа, называемые коэффициентами ряда.

В результате замены х – х₀ = z степенной ряд (5.7) примет вид:

Следовательно, в дальнейшем можно ограничиться изучением степенных рядов вида .

2. Область сходимости степенного ряда

Рассмотрим степенной ряд

. (6.8)

Для данного ряда существует конечное или бесконечное число R, называемое радиусом сходимости, такое, что если:

1) | х | < R, то ряд сходится на интервале (R; R), который называется интервалом сходимости степенного ряда;

2) | х | > R, то ряд расходится;

3) | х | = R, т. е. х = R, то может иметь место и сходимость, и расходимость в каждой из этих точек, причем, при R =  областью сходимости является интервал ( ; +); при R=0 ряд сходится в одной единственной точке х=0.

Замечание. На концах интервала сходимости (R; R) степенного ряда (6.8) может иметь место как сходимость, так и расходимость. При этом его областью сходимости будет является один из промежутков (R; R), (R; R], [R; R), [R; R]. Вопрос о сходимости ряда в граничных точках интервала сходимости решается отдельно для каждого ряда.

Используя признак Даламбера, можно показать, что, если существует предел , то радиус сходимости ряда (6.8) вычисляется по формуле

. (6.9)

Пример 1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости ряда, используя формулу (6.9). Здесь , тогда

,

следовательно, ряд сходится на интервале (1; 1).

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х = 1, тогда имеем числовой ряд . Это гармонический ряд, который расходится.

Пусть х = 1. После подстановки этого значения х в общий член исследуемого ряда получим знакочередующийся ряд

Этот ряд сходится по признаку Лейбница. Таким образом, областью сходимости степенного ряда является промежуток [1; 1), т. е. ряд сходится для всех значений х, удовлетворяющихся двойному неравенству 1  х < 1.

Пример 2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Осуществляя замену х + 1 = z исходный ряд приводится к ряду вида . Поступая аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере, получим

.

Таким образом, ряд сходится при –1 <z < 1. Переходя к переменной х, получим –1 < x + 1 < 1 или –2 < x < 0, т. е. интервалом сходимости исходного ряда будет (2; 0).

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Пусть х = 0. Подставляя это значение х в исследуемый степенной ряд, получим ряд числовой  это сходящийся обобщенный гармонический ряд.

Пусть х = 2. Подставляя в общий член ряда данное значение х, получим знакочередующийся ряд Для исследования его сходимости воспользуемся признаком Лейбница.

1. 1 >

Наблюдается убывание абсолютных величин слагаемых ряда с возрастанием номера n.

2. .

Оба условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится.

Из проведенного исследования сходимости степенного ряда на концах интервала сходимости, следует, что обе граничные точки х = 0 и х = 2 принадлежат области сходимости ряда, которая в данном случае совпадает с отрезком [2; 0].