§ 2. Знакопеременные ряды
Определение 1. Ряд называется знакопеременным, если среди его слагаемых есть и положительные, и отрицательные.
1. Знакочередующиеся ряды
Определение 2. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные его члены следуют друг за другом поочередно.
Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда)
Теорема 1. Знакочередующийся ряд
(6.4)
сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают с ростом порядкового номера, и общий член его стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности, т. е. если выполняются условия:
1. а1 а2 а3 … аn … ;
2.
.
При этом сумма S ряда (6.4) удовлетворяет неравенству
0 S a1 .
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
…
Решение. Ряд знакочередующийся, поэтому применим признак Лейбница.
1. Вычислим модуль отношения (n+1)-го иn-го членов ряда.
,
следовательно,
слагаемые ряда убывают по модулю с
ростом n; действительно
2.
.
Оба условия признака Лейбница выполнены, следовательно, данный ряд сходится.
2. Абсолютная и условная сходимость рядов Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
Теорема 2.Знакопеременный ряд
сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его слагаемых
Определение 3. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится сам этот ряд и ряд, составленный из модулей его слагаемых.
Определение 4. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам этот ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его слагаемых, расходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей членов исходного ряда
.
Данный ряд сходится, следовательно, согласно Теореме 2, исследуемый знакопеременный ряд абсолютно сходящийся.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда
Решение. Ряд знакочередующийся. Исследуем его сходимость с помощью признака Лейбница.
1.
Видим, что абсолютные величины слагаемых ряд монотонно убывают.
2.
.
Условия признака Лейбница выполнены, ряд сходится.
Чтобы определить абсолютную или условную сходимость данного ряда, исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей его слагаемых.
Это гармонический
ряд, который расходится. Следовательно,
ряд
сходится условно.
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость:
62.
;
63.
; 64.
;
65.
; 66.
; 67.
;
68.
; 69.
;
70.
;
71.
;
72.
;
73.
;
74.
;
75.
; 76.
.
§ 3. Функциональные ряды
Пусть U1(x), U2(x),…, Un(x),… некоторая последовательность функций аргумента х.
Определение 1. Выражение вида
(6.5)
называется функциональным рядом. Если рассмотреть ряд (5.5) в точке х = х0, то получим числовой ряд
(6.6)
Определение 2. Функциональный ряд (6.5) называется сходящимся в точке х = х0, если сходится числовой ряд (6.6). При этом точка х = х0 называется точкой сходимости ряда (6.5).
Определение 3. Множество всех точек сходимости функционального ряда (6.5) называется его областью сходимости.
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда
.
Решение.
Исследуем сходимость ряда с помощью
признака Даламбера, полагая
,
.
Для любого х имеем:
.
Данный
ряд сходится, если выполняется условие
,
т. е.
.
Следовательно, область сходимости ряда
,
.
Каждому
значению х из области сходимости ряда
(6.5) соответствует определенное значение
величины
,
которую называют суммой функционального
ряда. Причем область определения функцииS(x)
совпадает с областью сходимости данного
ряда. Тогда говорят, что функция S(x)
раскладывается в ряд:
S(x) = U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + …
Сумма ряда S(x) может быть представлена в виде
S(x) = Sn(x) + rn(x),
где Sn(x) = U1(x) + U2(x) + … + Un(x) – частичная сумма ряда;
rn(x) = Un+1(x) + Un+2(x) + … остаточный член.
,
поэтому для приближенных вычислений
можно положить S(x)
Sn(x),
| rn(x)
| в этом случае представляет собой
абсолютную погрешность приближения.
Найти область сходимости функционального ряда
77.
;
78.
;
79.
;
80.
;
81.
;
82.
;
83.
; 84.
.