Глава VI. Ряды

§1. Числовые ряды

1. Основные понятия

Пусть дана бесконечная числовая последовательность а₁, а₂, а₃,…, а_n,…, где а_n=f(n),nN. Выражение вида

а₁ + а₂ + а₃ + … + а_n + … = (6.1)

называют числовым рядом.

Числа а₁, а₂, а₃,..., а_n называют членами ряда, а_n = f(n)  общим членом ряда. Будем полагать, что а_i  R, где i = 1, 2,…, n,…

Определение 1. Суммы конечного числа членов ряда (6.1), начиная с первого, S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂ , S₃ = a₁ + a₂ + a₃,…, S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n называются его частичными суммами.

Определение 2. Ряд (6.1) называется сходящимся, если его частичная сумма S_n при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т. е.

.

Число S называют суммой ряда. Если предел частичной суммы равен бесконечности или не существует, то ряд называется расходящимся.

Нетрудно показать, что ряд

а + аq + aq² +…+ aqⁿ + … = ,

составленный из членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии (знаменатель прогрессии |q|  1 ), сходится, причем его сумма S = .

2. Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится и суммой его является числоS, то для произвольного числа k ряд также сходится, причем его сумма равна k S.

2. Если сходятся ряды , имеющие соответственно суммыS и , то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственноS  .

Следствие 1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть ряд расходящийся.

Следствие 2. Сумма (разность) расходящихся рядов может быть и сходящимся и расходящимся рядом.

3. Если в ряде добавить или отбросить конечное число членов, то получится ряд, сходящийся или расходящийся одновременно с данным. В случае сходимости полученного ряда его сумма отличается на сумму добавленных или отброшенных членов.

Записав ряд (6.1) в виде

а₁ + а₂ + … + а_n + a_n+1 + a_n+2 + … =,

обозначим сумму a_n+1 + a_n+2 + … = и будем называть ее в дальнейшемn-м остатком ряда или его остаточным членом. Очевидно, что в случае сходимости ряда (6.1), r_n = S – S_n.

Следствие 3. Если ряд (6.1) сходится, то его остаток r_n = a_n+1 + a_n+2 +… стремится к нулю при n  .

3. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема 1. Если ряд сходится, то предел его общего члена при

n   равен нулю, т.е.

.

Следствие 4. Если предел общего члена ряда отличен от нуля или не существует при n  , то такой ряд расходится.

Пример 1. Используя необходимый признак сходимости, исследовать сходимость ряда

.

Решение. Вычислим предел общего члена ряда а_n = при n  .

= е  0.

По необходимому признаку сходимости данный ряд расходится.

Условие Теоремы 1 является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Примером расходящегося ряда, удовлетворяющего необходимому признаку сходимости, является гармонический ряд

1+.

Написать четыре-пять членов ряда по заданному общему члену а_n и проверить выполняется ли необходимый признак сходимости

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.;^ 6. .

Написать формулу общего члена ряда и проверить выполняется ли необходимый признак сходимости

7. ;

8. ;

9. ;

10. …;

11. ;

12. .

Проверить выполняется ли необходимый признак сходимости ряда

13. ; 14.;

15. ; 16.;

17. ; 18..