3.Точечные оценки измеряемого параметра, обнаружение и устранение грубых погрешностей измерений

Точечной статистической оценки математического

ожидания измеряемого параметра Х служит среднее значение:

Эта оценка: состоятельная, (при увеличении числа измерений она приближается к точному значению Х ),

• несмещенная, (математическое ожидание оценки (среднего) равно оцениваемому параметру Х ),

• эффективная, (ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра)

Точечной оценкой среднеквадратического отклонен-

ия (СКО) многократного измерения являются

Эти оценки: состоятельные, (при увеличении числа измерений они приближаются к точному значению СКО (дисперсии)),

• смещенная (S*), несмещенная (S),

• эффективные, (дисперсия S, S* меньше дисперсии любой другой оценки СКО (дисперсии)).

Оценкой СКО среднего значения от истинного матожидания

характеризуется дисперсией

Среднее значение быстро стремится к матожиданию

Обнаружение грубых погрешностей решается методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в том, что результат измерения X_k не содержит грубой погрешности. Сомнительным может быть только наибольший X_max или наименьший X_min из результатов. Для проверки гипотезы составим величины

; ;

Проверка промахов проводится по критерию Романовского:

V ≥ 3

4.Интервальные оценки измеряемого параметра по ограниченному числу измерений

В процессе получения интервальных оценок измерения последовательно решаются четыре задачи:

• Точечная оценка параметров выборки

• Обнаружение грубых погрешностей (промахов)

• Проверка соответствия результатов измерения нор-мальному закону распределения (или его принятие)

• При заданной доверительной вероятности (Р) вычис-ление доверительного интервала для матожидания рез-ультата измерения (и если это надо - вычисление доверитель-ных интервалов для СКО результата измерения - если это надо).

Нормальный закон распределения вероятности в измерениях

• Измеряемый параметр X имеет нормальное распреде-

ление cо средним (математическим ожиданием) и дис-

персией σ:

В практике, вместо  следует применять оценку S.

Интегральная функция распределения Лапласа

F(x) = P( X < x) =

показывает вероятность того, что случайная величина не превосходит значения х .

Интервальная оценка результатов измерений(этапы)

• Проверка нормального закона распределения вероятности в измерениях

• Обнаружение грубых погрешностей и их устранение

Простой критерий Романовского выявления промахов

| Xi - | > 3 S

• Интервальная оценка математического ожидания измеряемой величины

Здесь величина  - это уровень значимости, который связан с заданной доверительной вероятностью р следующим образом

Значения квантилей распределения Стьюдента

приведены в статистических таблицах, или в пакетах компьютера (Excel). При больших выборках (более 25-30) распределение Стьюдента и его квантили переходят в нормальное распределение и его квантили.

Здесь  = SX t1-/2 .

Следует отметить, что при увеличении выборки (N) граница интервала õ ведет себя как S*/√N , то есть уменьшается с ростом N как √N, стремясь к нулю, как показано на рис. ниже