3. Точечные оценки измеряемого параметра, проверка нормальности распределения для многократных измерений, обнаружение и устранение грубых погрешностей измерений.

Обычно в ходе испытаний проверяется соответствие того или иного показателя качества заданным заказчиком требованиям. Считают, что система успешно прошла испытания, если ее параметры, полученные по результатам испытаний, будут не хуже заданных в тактико-технических требованиях (ТТТ). Из-за наличия систематических и случайных погрешностей измерений определить истинные значения параметров технической системы практически невозможно, поэтому в результате испытаний определяются не сами параметры, а их статистические оценки.

Такая оценка, называемая точечной, зависит от самого оцениваемого параметра Х, и от количества измерений (испытаний) N . К оценке предьявляется ряд требований, определяющих ее пригодность для применения [1,2]:

• состоятельность, (при увеличении числа измерений она приближается к точному значению Х ),

• несмещенность, (ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру Х ),

• эффективность, (ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра).

Примером такой точечной статистической оценки математического ожидания измеряемого параметра Х, удовлетворяющей всем трем требованиям, служит среднее значение [1,2]:

, 1.2

где N – число измерений;

x_i – результат i-го измерения.

Точность таких оценок характеризуется близостью экспериментальных данных к действительным значениям параметра объекта.

На рис. Ниже показана зависимость среднего арифметического от количества измерений, причем для разного количества измерений изменяется случайным образом. При этом при увеличении измерений стремится к матожиданию, что соответствует состоятельности оценки. Вследствие несмещенности оценки для разного числа измерений располагается как выше, так и ниже истинного матожидания, что приводит к совпадении матожидания от и истинного математического ожидания результата измерений (напомним, что матожидание многократного измерения – это наиболее вероятное значение результата измеряемой физической величины).

В качестве точечной оценки среднеквадратического отклонения многократного измерения принимается величина S

. 1.3

Среднеквадратическое отклонение измерения, вычисленное по этой формуле, является смещенной оценкой, а несмещенной оценкой его является величина S

. 1.4

Само среднее значение тоже является случайной величиной (см. рис.), и его отклонение от истинного значения X характеризуется дисперсией S_x для среднего значения, которое вычисляется по формуле

. 1.5

Как видно из этой формулы, дисперсия среднего значения с ростом N убывает быстрее, чем  .

Полученные оценки позволяют сделать заключение о точности проведенных измерений. Результаты измерений записываются в виде X =; S = . . . ; S_X =. . . . . ; N = . . . .

Нормальный закон распределения вероятности в измерениях.

В процессе эксплуатационных наблюдений на результат измерения параметра Х системы влияет большое число различных по своей природе факторов. Это приводит к вероятностному характеру измеряемой величины. При этом принимают гипотезу о нормальном законе распределения результатов измерений параметра. Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений обьясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которых принимали участие многие математики – Муавр, Лаплас, Гаусс, П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов.

Центральная предельная теорема говорит о том, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному закону, когда результаты измерения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных. Именно поэтому, в измерениях, обычно принимают гипотезу о нормальном распределении погрешностей измерения.

То-есть, измеряемый параметр X имеет нормальное распределение cо средним (математическим ожиданием) и дисперсией σ²:

. 1.6

Очевидно, по мере увеличения дисперсии (среднеквадратического отклонения измерения) распределение f(x) расплывается. Это приводит к тому, что вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность появления меньших погрешностей – уменьшается, т.е., увеличивается рассеивание результатов измерения.

Гауссова функция имеет вид колокола, причем максимум функции достигается в точке , и сам максимум равен . В практике, вместо  следует применять оценку S.

Нормальный закон распределения плотности вероятности соответствует интегральной функции распределения Лапласа вида:

F(x) = P( X < x) = 1.7

Она показывает вероятность того, что случайная величина не превосходит значения х . Ее значения табулированы в таблице (в зависимости от  и Р).

Проверять гипотезу о нормальном распределении результатов эксплуатационных наблюдений необходимо в ответственных случаях. Проверка может быть проведена несколькими способами. Мы будем применять наиболее простой способ проверки [2].

1. По результатам эксплуатационных измерений (выборки) вычислим третий ₃ и четвертый ₄ статистический моменты опытного распределения вероятности:

. 1.8

. 1.9

и коэффициенты ассиметрии g₁ и эксцесса g₂ опытного распределения

, . 1.10

2. Определяем средние квадратичные отклонения коэффициентов ассиметрии и эксцесса:

; . 1.11

3. Проводим сравнение полученных величин.

Если выполняются одновременно неравенства:

| g₁ |  1.5 S₁ ; | g₂ + 6 / (N + 1)|  1.5 S₂ 1.12

то опытные данные подчиняются нормальному распределению.

Если же выполняется хотя бы одно из неравенств:

| g₁ |  3 S₁ ; | g₂ + 6 / (N + 1)|  2 S₂ 1.13

то опытные данные не подчиняются нормальному распределению.

В любом другом случае нельзя дать определенного ответа без дополнительного исследования.

Обнаружение грубых погрешностей решается методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в том, что результат измерения X_k не содержит грубой погрешности. Сомнительным может быть только наибольший X_max или наименьший X_min из результатов. Для проверки гипотезы составим величины

; ; 1.17

При заданной доверительной вероятности  (обычно, 0.1 или 0.05 ), или уровне значимости q = 1 -  , можно найти те наибольшие значения _ , которое случайная величина  может принимать по чисто случайным причинам. Величину _ можно найти по таблице Приложения 2.

Если выборка достаточно большая (N > 25), то можно применить простой критерий Романовского выявления промахов, который часто используется на практике. Если для какого-то измеренного значения X_i выполняется неравенство:

| X_i - | > 3 S , (1.18)

то это – промах. Этот критерий очень удобен для применения и автоматизации измерений.