- •1.1. Численное дифференцирование
- •1.1.1. Первая производная. Двухточечные методы
- •1.1.2. Вычисление первых производных по трёхточечным схемам
- •1.1.3. Вычисление производных второго порядка
- •1.1.4. Вычисление производных третьего порядка
- •1.2. Решение нелинейных уравнений
- •1.3.1. Метод Эйлера
- •1.3.2. Метод Рунге-Кутта
- •1.3.3. Модифицированный метод Эйлера
- •1.4. Численное решение системы дифференциальных уравнений
- •1.6. Введение в операторный метод
- •1.6.1. Преобразование Карсона-Хевисайда
- •1.6.2. Изображение по Лапласу
- •1.6.3. Некоторые формулы соответствия оригинала изображению
- •1.6.4. Изображение интеграла
- •1.6.6. Первый закон Кирхгофа в операторной форме
- •1.6.7. Второй закон Кирхгофа в операторной форме
- •1.6.8. Последовательность расчета в операторном методе
- •1.6.9. Аналогия с переменным током
- •1.7.1. Переход от изображения к функции времени
- •1.7.2. Методы разложения
- •2.1. Введение
- •2.2.1. Основные выражения
- •2.2.5. Разряд конденсатора в цепи RLC.
- •2.2.6. Воздействие постоянного напряжения на RCL - цепь
- •3.1.1. Принцип создания электротехнических блоков пользователя
- •3.2.2. Блок S-function
- •3.2.3. Математическое описание S-функции
- •3.2.4. Этапы моделирования
- •3.2.5. Callback-методы S-функции
- •3.2.6. Основные понятия S-функции
- •3.2.7. Создание S-функций на языке MATLAB
- •3.2.8. Примеры S-функций языке MATLAB
- •4. ЗАДАНИЯ НА ВЫПОЛЕНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
- •4.1.1. Моделирование и исследование процессов в RC–цепи
- •4.1.5. Заряд емкости
- •4.1.6. Разряд емкости
- •4.1.8. Разряд индуктивности
- •4.1.9. Моделирование полупроводникового диода
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 1 + x3/3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yk = y(1) = 1 + 1/3 = 4/3. |
|
|
|
|
Т |
|
|
У |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.3.3. Модифицированный метод Эйлера |
|
П |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Модифицированный метод Эйлера 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Y1 |
= y0 |
+ k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
+ |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= k1 = hf (x0 , y0 =1*0 = 0), |
|
|
|
4 |
= |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
= h * f (x |
+ h / 2, y + k / 2) |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
1 |
Н |
Ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Н |
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Модифицированный метод Эйлера 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
= 0, |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1+ |
(0 +1) / 2 = |
|
. |
||||||||||||||||||
|
= y0 + (k1 + k2 ) / 2 = |
k |
|
= h * f (x |
+ h, y |
+ k ) =1* f (1,1) = |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Метод Рунге-Кутта четверт |
|
п рядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
П |
|
|
а |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0+2* |
*2* |
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 =0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
Y |
=y |
+(k |
+2k +2k +k )/6=сk =hf (x +h/2,y |
+k |
/2) |
=1/ 4, |
|
=1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
0 |
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
ц |
Э |
К |
|
|
|
|
k |
=hf (x |
+h/2,y |
+k |
/ 2) |
=1/ 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =hf (x +h,y +k )=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4. Численное решение системы дифференциальных уравнений |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Системой дифференциальных уравнений называется система вида
13
|
|
|
|
|
dy |
|
= f1(x, y1,…yn ), |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dy2 |
|
= f2 |
(x, y1,…yn ), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
||||||
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dyn |
|
= fn |
(x, y1,…yn ) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
или |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dyi = fi (x, y1,…yn ), i = |
|
|
. |
|
Т |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1,n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
. |
|
|||||
где x – независимый аргумент, yi |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
– зависимая функция, |
i =1,n, , yi|x=x0 |
|||||||||||||||||||||||
=yi0 – начальные условия. |
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
Ю |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
Функции yi(x), при подстановке которой система уравнений обра- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
||
|
щается в тождество, называется решением системой дифференциальных |
|||||||||||||||||||||||
|
уравнений. |
О |
Э |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Метод Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Э |
yij+1 |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= yij+ hfi(xi,y1j y2j...ynj) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
П с |
|
|
мершага. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Э |
|
|
i =1,n, j – |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
а |
|
|
xj+1 = xj+h. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ц |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Модифици ов нный метод Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
о |
|
|
|
|
|
|
ki1 = hfi(xj,y1j...ynj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
К ki1 = hfi(xj+h,y1j+ki1…ynj+ki2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yij+1 = yij+(ki1+ki2)/2 xj+1 = xj+h
14
|
|
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка |
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ki1 = hfi(xj,y1j...ynj) |
|
|
|
|
У |
||||||||
|
|
|
|
|
ki2 = hfi(xj+h/2,y2j+ki1/2,..,ynj+kn1/2) |
|
П |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Т |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ki3 = hfi(xj+h/2,y2j+ki2/2,..,ynj+kn2/2) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ki4 = hfi(xj+h,y1j+ki2,..,ynj+kn3) |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||||
|
|
|
|
|
yij+1 = yij+(ki1+2ki2+2ki3+ki4)/6 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xj+1 = xj+h |
|
|
|
Ю |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
1.5. Дифференциальное уравнениеИвторого порядка |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
||
|
|
Дифференциальным уравнениемНвторого порядка называется урав- |
|||||||||||||||||
|
нение вида |
|
О |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y, у', y") = 0 |
|
|
|
|
||||||||
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
П |
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
(2.5.2) |
|||||||
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Э |
|
|
а |
|
y" = f(x, y, y'). |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ФункцияЭy(x), при под та овке которой уравнение обращается в |
|||||||||||||||||
|
тождество, называется решением дифференциального уравнения. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
Численно ищется ч тное решение уравнения (2.5.2), которое удов- |
|||||||||||||||||
. |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
летворяет заданным н ч льным условиям, то есть решается задача Ко- |
||||||||||||||||||
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ши |
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о |
|
Для численного ешения дифференциальное уравнение второго по- |
|||||||||||||||||
рядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений пер- |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
вого порядка и приводится к машинному виду (2.5.3). Для этого вводит- |
||||||||||||||||||
|
ся новая неизвестная функция |
y1 = |
dy |
, слева в каждом уравнении сис- |
|||||||||||||||
|
|
|
dx
темы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy1 = |
f (x, y , y), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(2.5.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = y |
= f |
(x, y , y). |
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Функция f |
(x, y , y) в систему (2.5.3) введена формально для того, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
|
чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использова- |
|||||||||||||||||||||||
|
ны для решения произвольной системы дифференциальных уравнений |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения |
|||||||||||||||||||||||
|
системы (2.5.3). Расчетные зависимости для (i + 1) шага интегрирования |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные |
|||||||||||||||||||||||
|
формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений |
|||||||||||||||||||||||
|
расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следую- |
|||||||||||||||||||||||
|
щем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
. |
|
||||||
|
|
Метод Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Нhf (x , y |
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
= у |
, y ), |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,i+1 |
|
|
1,i |
|
1 |
i |
1,i |
|
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
= у + hf (x , y |
, y ), |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i+1 |
|
Эi 2 |
|
i |
1,i |
|
i |
И |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
О |
|
xi+1 = xi |
+ h. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Метод Рунге-Кутта четверт |
п рядка |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Э |
|
|
|
|
|
го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= у1,i + (m1 |
+ 2m2 + 2m3 + m4)/6, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
П |
у1,i+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
н |
|
+ 2k |
+ k )/6, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= у + (k |
+ 2k |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Э |
|
|
|
|
i+1 |
сi 1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
аm1 = hf1(xi, y1,i, yi), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
р |
k1 = hf2(xi, y1,i, yi), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ц |
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= hf1(xi |
+ h/2, y1,i |
+ m1/2, yi + k1/2), |
|
|
|
|
|||||||||||||||
о |
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
k2 = hf2(xi + h/2, y1,i + m1/2, yi + k1/2),
m3=hf1(xi + h/2, y1,i + m2/2, yi + k2/2),
16