Метод максимального правдоподобия.

Этот метод состоит в том, что в качестве точечной оценки параметрапринимается то значение параметра, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума.

Для случайной наработки до отказа с плотностью вероятности f(t,) функция правдоподобия определяется формулой 12.11:, т.е. представляет из себя совместную плотность вероятности независимых измерений случайной величины τ с плотностью вероятностиf(t,).

Если случайная величина дискретна и принимает значения Z₁,Z₂…, соответственно с вероятностямиP₁(α),P₂(α)…,, то функция правдоподобия берётся в ином виде, а именно:, где индексы у вероятностей показывают, что наблюдались значения.

Оценки максимального правдоподобия параметра определяются из уравнения правдоподобия(12.12).

Значение метода максимального правдоподобия выясняется следующими двумя предположениями:

Если для параметра существует эффективная оценка, то уравнение правдоподобия (12.12) имеет единственное решение.

При некоторых общих условиях аналитического характера, наложенных на функции f(t, )решение уравнения правдоподобия сходится прик истинному значению параметра.

Рассмотрим пример использования метода максимального правдоподобия для параметров нормального распределения.

Пример:

Имеем: ,,t_i (i=1..N)выборка из совокупности с плотностью распределения.

Требуется найти оценку максимального подобия.

Функция правдоподобия: ;

.

Уравнения правдоподобия: ;

;

Решение этих уравнений имеет вид: - статистическое среднее;- статистическая дисперсия. Оценкаявляется смещённой. Не смещённой оценкойбудет оценка:.

Основным недостатком метода максимального правдоподобия являются вычислительные трудности, возникающие при решение уравнений правдоподобия, которые, как правило, являются трансцендентными.

Метод моментов.

Этот метод предложен К.Пирсоном и является самым первым общим методом точечной оценки неизвестных параметров. Он до сих пор широко используется в практической статистике, поскольку нередко приводит к сравнительно несложной вычислительной процедуре. Идея этого метода состоит в том, что моменты распределения зависящие от неизвестных параметров, приравниваются к эмпирическим моментам. Взяв число моментов, равное числу неизвестных параметров, и составив соответствующие уравнения, мы получим необходимое число уравнений. Чаще всего вычисляются первые два статистических момента: выборочное среднее ; и выборочная дисперсия. Оценки, получаемые с помощью метода моментов, не являются наилучшими с точки зрения их эффективности. Однако очень часто они используются в качестве первых приближений.

Рассмотрим пример использования метода моментов.

Пример: Рассмотрим экспоненциальное распределение:

t>0; λ<0; t_i (i=1..N)– выборка из совокупности с плотностью распределения. Требуется найти оценкудля параметра λ.

Составляем уравнение: . Таким образом,иначе.

Метод квантилей.

Это такой же эмпирический метод, как и метод моментов. Он состоит в том, что квантиль теоретического распределения приравниваются к эмпирической квантили. Если оценке подлежат несколько параметров, то соответствующие равенства пишутся для нескольких квантилей.

Рассмотрим случай, когда закон распределения F(t,α,β) с двумя неизвестными параметрамиα, β. Пусть функцияF(t,α,β) имеет непрерывно дифференцируемую плотность, принимающую положительные значения для любых возможных значений параметровα, β. Если испытания проводить по плану[N, U, r], r>>1, то моментпоявления- го отказа можно рассматривать как эмпирическую квантиль уровня,i=1,2… , - эмпирическая функция распределения. Если быt_lиt_r– моменты появленияl-го иr-го отказов известны точно, значения параметровαиβможно было бы найти из уравнений

F(t_l,α,β)= q_e, F(t_r,α,β)= q_r (12.13)

Нам известны лишь приближённые значения квантилей q_{e и} q_r. Заменяя в уравнениях (12.13) значения квантилей их оценками, получаем уравнения,(12.14) (обычно). Решениеуравнений (12.14) являются состоятельными оценками для параметровпричто непосредственно следует из непрерывности функцииF(t,α,β).Можно показать, что эти оценки при весьма общих предположениях типа гладкости функцииF(t,α,β)являются асимптотически несмещёнными и асимптотически нормально распределёнными.

Проиллюстрируем метод квантилей на примере закона Вейбулла: . Испытания проводятся по плану[N, U, r].Выбираем значение. В результате испытаний фиксируются значенияt_lиt_r моментовl-го иr-го отказов. Уравнения (1.2.14) переписываются в виде:Разрешая их относительно неизвестных параметрови, получаем оценки:;.