10.2 Особенности расчёта надёжности резервированных восстанавливаемых систем.
Рассмотрим восстанавливаемую резервированную систему, в которой происходит восстановление отказавших элементов за счёт имеющегося резерва. Пусть в системе имеется: “n” – основных рабочих объектов,
m+l+S – резервных изделий, причём
m– число изделий в нагруженном резерве;
l- число изделий в облегчённом резерве;
S- число изделий в ненагруженном резерве;
z – объём ремонтного устройства.
Все рабочие изделия как и остальные одинаковы между собой по надёжности.
Поток отказов и восстановлений подчиняется экспоненциальному закону: λ=const,=const.
Работа рассматриваемой системы иллюстрируется рис. 10.2:
Рис. 10.2
Каждое отказавшее рабочее изделие мгновенно поступает в ремонтное устройство и мгновенно замещается изделием из нагруженного резерва.
Каждое вышедшее из строя или перешедшее в основное рабочее состояние изделие из нагруженного резерва мгновенно замещается изделием из облегчённого резерва. Каждое отказавшее или перешедшее в нагруженный резерв изделие из облегчённого резерва, каждое восстановленное изделие поступает в ненагруженный резерв. Всего в системе имеется N=n+m+l+S изделий и она полностью выполняет свои функции, если число исправленных не меньше “n”. Система выходит из строя, если откажутm+l+S+1 изделий.(j=m+l+S). Используется метод, основанный на исследовании схемы состояний [2,4,5,15,18].
Под состоянием системы будем понимать число отказавших изделий: “K”
Граф состояний представлен на рис. 10.3:
Рис. 10.3
Параметры процесса отказов и восстановлений зависят от номера состояния “K”:λK, K
Если
. (10.12)
Если
,
.
Описанная схема работы системы охвачивает
большое число частных случаев. Мы
рассмотрим два примера из множества
возможных вариантов и определим финальные
вероятности состояний. Исследование
характеристик надёжности формируемых
под воздействием потоков отказов и
восстановлений, позволяет сделать вывод
о том, что при существующих в практике
соотношениях λинаступает сравнительно быстро период
установившегося режима, т.е. можно
положить
Тогда система дифференциальных уравнений
Колмогорова трансформируется в систему
алгебраических уравнений.
Если обозначить: ПК=-λКPК+К+1PK+1, то для стационарного режима получим следующую систему:
.
(10.13)
Из (10.13) Находим: ПК=0; k=0,1…j
ВероятностьP0находим из условия нормировки
Pj+1=КП– коэффициент простоя,1-Pj+1=Kr
– коэффициент готовности.
Частные случаи:
1. Полное число изделий в системе N. Из них “N-m” находятся в рабочем состоянии, а остальные составляют нагруженный резерв. Ремонтное устройство имеет объёмr≥N (неограниченное восстановление).
Тогда λK=(N-K)λ; K=K,где как было указано выше, “K” – число отказавших изделий (номер состояния).
Стационарная вероятность состояния “K” определяется по формуле:
2. Система имеет “n” рабочих элементов и неограниченный ненагруженный резерв. Объем ремонтного устройства также неограничен. Для этого случая:λK=n λ ; K=K;
Стационарная вероятность состояния “K” определяется по формуле:
