Раздел 10. Расчет надежности ремонтируемых организационно-технических систем

10.1. Расчет надежности ремонтируемых организационно-технических систем

Ремонтируемые изделия после возникновения отказа восстанавливают и продолжают эксплуатировать. Необходимо различать ремонтируемые изделия без восстановления в процессе применения и восстановлением в процессе применения. К невосстанавливаемым в процессе применения относятся те изделия, отказ которых приводит к невыполнению поставленной задачи; при наличии резерва ремонт отказавшего участка резервированной группы не производится до окончания выполнения задачи. Восстанавливаемые в процессе выполнения ремонтируемые изделия можно разделить на две группы. Первая – те изделия, у которых в течение заданного времени работы допускаются отказы и вызванные ими перерывы в работе. Вторая – те резервированные изделия, у которых отказ изделия не допускается, но ремонт отказавшего участка резервированной группы производится во время выполнения задачи. В качестве показателей надежности ремонтируемых систем без восстановления в процессе работы используются: - параметр потока отказов; - вероятность безотказной работы в течении наработки ; - вероятность безотказной работы в интервале . Для пуассоновских [2,13,14,18,19] потоков отказов вероятность появления ровно “n” отказов в интервале рассчитывается по формуле:

, (10.1)

где . (10.2)

При n=0 получаем формулу для вероятности безотказной работы изделия в течение наработки .

. (10.3)

При стационарном () (простейшем) потоке отказов вероятность безотказной работы на интервале :

, при этом .

Для характеристики надежности восстанавливаемых в процессе применения изделий, у которых перерывы в работе системы допустимы, в качестве показателей надежности обычно используют функцию готовности и функцию простоя или соответствующие коэффициенты [1,2,4,8,9]. При этом часто рассматривают установившийся режим эксплуатации при . Показатели надежности, как правило, определяются при условии, что в момент включения все изделия работоспособны. Наиболее часто используется метод, основанный на составлении графа переходов и решении дифференциальных уравнений Колмогорова. Для установившихся режимов и система дифференциальных уравнений переходит в систему алгебраических уравнений.

Для характеристики надежности восстанавливаемых в процессе применения ремонтируемых изделий второй группы (резервированных изделий, у которых отказов изделия не допускается, но ремонт отказавшего участка резервированной группы производится во время выполнения задачи), в качестве показателей надежности используются условные вероятности непрерывной работы в течение заданного времени выполнения задачи в интервале при условии, что в начальный момент времени все изделия работоспособны. В рассматриваемом случае необходимо решить полную систему дифференциальных уравнений при соответствующих начальных условиях.

Вычисление функций готовности и простоя нерезервированных систем

Нерезервированная система может находиться в любой момент времени “t” в одном из двух состояний:

«0» - система работоспособна;

«1» - система неработоспособна и ремонтируется.

Обозначим вероятности этих состояний: и . Очевидно ; . При длительной эксплуатации при получаем установившиеся значения , .

Рассматриваем случай, когда время безотказной работы и время восстановления имеют экспоненциальное распределение: , . На рис. 10.1 приведен граф состояний системы.

Рис. 10.1

В соответствии со схемой рис. 10.1 запишем следующую систему дифференциальных уравнений Колмогорова.

; (10.4)

.

Если при система находилась в работоспособном состоянии, тоP₀(0)=1; P₁(0)=0и в результате решения уравнений 10.4 (например, с использованием преобразования Лапласа) получим:

,

. (10.5)

Если при t=0система находилась в ремонте, тоP₀(0)=0; P₁(0)=1и решение системы (10.4) будут иметь вид:

,

. (10.6)

При получаем

(10.7)

Так как и [2,18], то можно записать:

; , (10.8)

т.е. (ТиТ_всоответственно среднее время безотказной работы и среднее время восстановления) коэффициент готовности характеризует долю времени, в течении которого система работоспособна, а коэффициент простоя – долю времени, в течении которого она ремонтируется.

Выражения для коэффициентов готовности и простоя можно определить непосредственно по графу переходов. Для этого используется следующее правило [2,4,18]: для определения стационарной вероятности P_k нахождения системы в “K”-ом состоянии необходимо идти по направлению стрелок из каждого крайнего состояния в “К”-е по кратчайшему пути и перемножить все интенсивности переходов, соответствующие проходимым стрелкам. Таким образом проходятся все пути из всех крайних состояний в каждое состояние системы. При разветвлённой схеме состояний некоторые участки пути придется проходить несколько раз. При этом интенсивности переходов этих участков нужно учитывать только один раз. Вероятность нахождения системы в “К”-ом состоянии

, (10.9)

где - произведения интенсивностей переходов из всех крайних состояний соответственно в “К”-ое и “j”-ое при движении по кратчайшему пути в направлении стрелок; “m+1” – число состояний системы.

При нескольких работоспособных состояниях

, (10.10)

где “n”- число работоспособных состояний; - вероятностьj-го работоспособного состояния.

Часто число неработоспособных состояний значительно меньше числа работоспособных. При этом удобнее вычислить функцию простоя:

, (10.11)

где P_l(t) –вероятностьl-го неработоспособного состояния; “m+1” – общее число состояний.