Раздел 7. Определение показателей надежности элементов организационно-технических систем на основе методов теории стохастической индикации.

7.1 Основы теории стохастической индикации

Индикатор любого случайного события является случайной величиной, обладающей следующими свойствами [7,11]

(7.1)

Из соотношения (7.1) следует

(7.2)

Поскольку случайные переменные обозначаются символом , то сформулированный выше (2.2) единожды неопределённый предикат<будет представлять собой неопределённое высказывание или, другими словами, случайное событие. Здесь неопределённость ситуации заложена в неопределённость переменной, являющейся случайной величиной. Для определения вероятностиpэтого высказывания достаточно знать закон распределения (функцию распределения) случайной величины (нагрузки)и заданное значение сопротивляемости (прочности), то есть

. (7.3)

Пусть - индикатор множестваA= (. Тогда из выражений (7.2),(7.3) следует, что

, (7.4)

а плотность и функция распределенияслучайной величиныпримут вид [7,11,12]

(7.5)

(7.6)

где - дельта-функция;

- единичная функция.

Поскольку противоположные гипотезы Aивсегда образуют полную группу, поэтому всегда имеет место формула

На основе (7.5), (7.6) числовые характеристики индикатора могут быть определены следующим образом [5]

; (7.7)

(7.8)

Таким образом, как это следует из выражения (7.7), вероятность случайного события равна математическому ожиданию его индикатора[5].

В рассматриваемом случае (7.8) дисперсия характеризует степень неопределённости предиката

При этом, как это следует из свойств плотности , максимальная неопределённость будет при медианном значении случайной величины, то есть[5,7].

Пусть в предикате , случайной является переменная. Тогда будет иметь место единожды неопределённый предикат, то есть случайное событие, зависящее от неслучайной переменной. Тогда

(7.9)

где - индикатор множестваA= .

Из выражения (7.9) видно, что в рассматриваемом случае

_.(7.10)

Индикатор графически представлен на рис 7.1

1

0

Рис 7.1 Индикатор случайного события.

Пусть переменная также случайна, тогда имеет место неравенствои, следовательно, случайное событие, в свою очередь, зависит также и от случайной величины. В этом случае предикатстановится уже дважды неопределённым.

При этом сразу же встаёт задача определения вероятности события .

При независимости случайных величин и, что является наиболее важной практической задачей с учетом (7.9) и формулы полной вероятности, а также с учетом возможных значений случайных величин и , имеют место зависимостии, откуда

(7.11)

(7.12)

С учётом изложенного выше ввёдем в выражениях (7.11), (7.12) следующие обозначения

(7.13)

(7.14)

с учётом которых выражения (7.11) и (7.12) преобразуются к виду

(7.15)

Случайные величины иназываются стохастическими индикаторами.

Из (7.11), (7.12), (7.13) следует, что

откуда (7.16)

где - соответственно функции распределения индикаторови, представленные в единичных квадратах на рис. 7.2а, 7.2б, на которых априорные вероятности событийиравны их усредненным априорным вероятностями.

Заштрихованные площади над кривыми функций распределения и, показанные на рис. 7.2а и 7.2б, геометрически представляют собой математические ожиданияислучайных величини.

Кроме того, обозначив через уровень гарантии интересующего нас события, то есть вероятность того, что событиеилипроизойдет (станет достоверным), можно, отложив на оси ординат значение, и, войдя с ним в графики (рис. 7.2а и 7.2б) до пересечения с кривыми,, и, отложив на оси абсцисс точку пересечения, получить значенияи, то есть гарантированные значения вероятностей выполнения событийили.

1

1

1

1

0

0

Рисунок 7.2б – Функция распределения

2-го стохастического индикатора.

Рисунок 7.2a– Функция

распределения

1-го стохастического

индикатора.