пособие по физике

вращаться стержень сразу же после неупругого удара (пуля застревает в стержне), а также выделившуюся за время удара тепловую энергию.

сохраняется при ударе. Приравнивая момент импульса системы до и

37

Рассчитав начальную и конечную кинетические энергии системы стержень − пуля, определим ту часть механической энергии, которая в процессе удара перешла в тепловую энергию, т. е.

Пример 8. Применение уравнения Бернулли и уравнения непрерывности при изучении движения текучих сред по трубам.

Несжимаемая идеальная среда (невязкая жидкость), находящаяся в широком сосуде (цистерна) с поперечным сечением S1 (рис. 8), вытекает по узкой трубе с поперечным сечением S2, на конце которой установлен кран с поперечным сечением S3 << S1. На горизонтальном участке трубы установлены трубки a и b для измерения динамического давления потока жидкости. Определить скорости υ1, υ2, υ3, а также разность уровней h в трубках a и b и давление p2 в

Применим эти уравнения к двум сечениям S1 и S3 потока жидкости, в которых давление равно атмосферному. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными (υ1 и υ3):

опускания уровня жидкости в широком сосуде мала (υ1 << υ3). Тогда получим υ3 ρg(H + h) . Из уравнения непрерывности находим

38

скорость υ1:

Чтобы рассчитать скорость и давление в сечении S2, нужно поступить аналогично и записать уравнения для сечений S1 и S2 (или

S2 и S3):

39

Применяя уравнение Бернулли к двум сечениям жидкости в трубках a и b, найдем разность их уровней (p − давление жидкости в

Пример 9. Гармонические колебания. Частица массой m = = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом T = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы E = 0,1 мДж. Определить

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = − kx, где k − коэффициент жесткости силы; х − смещение частицы из положения равновесия. Максимальное значение сила приобретает при максимальном

40

смещении xmax = А, т. е.

Проверим единицы измерения левой и правой частей формулы (5):

1 Н = 1 кг ×1 Дж1 с = 1 кг ×1 Н× м1 с2 = 1 Н2 = 1 Н.

Подставим числовые значения в формулу (5) и проведем вычисления:

(электрон либо протон) находится в первом возбужденном энергетическом состоянии квантового осциллятора. Частота n0 такого осциллятора равна 5·1014 Гц. Определить энергию этой микрочастицы и получить выражение для плотности вероятности f того, что микрочастица имеет координату х. При вычислении нормировочной постоянной А1 следует воспользоваться табличным интегралом вида

41

Запишем выражение (1.94) для волновой функции Ψ1 квантового осциллятора при n = 1 и ее комплексно-сопряженную функцию Ψ1 :

Ψ1 (t, x) = A1е−iE1t η xе−mω0 x2 (2η) , Ψ1* (t, x) = A1еiE1tη xе−mω0 x2 (2η) . (1)

С помощью постулата М. Борна (см. формулу (1.87)) получим выражения для плотности вероятности f-распределения микрочастицы по координате x (− ∞ < x < +∞):

Рис. 9

При использовании общего условия нормировки (1.88) нужно интегрирование по объему для одномерного случая заменить на интегрирование по координате х:

определяющая вид функции (2) (с учетом выражения (4) для квадрата нормировочной постоянной А1)

1.5. Задачи к контрольной работе № 1

Таблица вариантов заданий

42

для студентов инженерно-технических специальностей

Таблица вариантов заданий для студентов химико-технологических специальностей

Тема 1. Кинематика материальной точки

итвердого тела

1.Определите скорость υ и полное ускорение а точки в

момент времени t = 2 с, если она движется по окружности радиусом R = 1 м согласно уравнению s = At + Bt3, где А = 8 м/с; В = − 1 м/с3;

s − криволинейная, т. е. дуговая координата, отсчитанная вдоль дуги окружности от некоторой точки на траектории, принятой за начальную.

2. По прямой линии движутся две материальные точки согласно

уравнениям: x1 = A1 + B1t + C1t2 и x2 = A2 + B2t + C2t2, где A1 = 10 м; B1 = = 1 м/с; C1 = 2 м/с2; A2 = 3 м; B2 = 2 м/с; C2 = 1 м/с2. В какой момент

времени τ скорости этих точек будут одинаковы? Найдите ускорения a1 и a2 этих точек.

43

3. Точка движется по окружности радиусом R = 9 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение an точки равно 4 м/с2, вектор полного ускорения a образует в этот момент с вектором нормального ускорения an угол α = 60°. Найдите скорость υ и

тангенциальное ускорение aτ точки.

4. Точка движется по прямой согласно уравнению x = At + Bt3, где А = 6 м/с; В = − 0,125 м/с3. Определите среднюю путевую скорость

υср точки в интервале времени от t1 = 2 с до t2 = 6 с.

5. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид x = At + Bt3, где А = 3 м/с; В = 0,06 м/с3. Найдите скорость υ и ускорение а точки в моменты времени t1 = 0 и t2 = 3 с. Каковы средние значения скорости υср и ускорения aср за первые 3

сдвижения?

6.Диск радиусом R = 0,2 м вращается согласно уравнению ϕ = = A + Bt + Ct3, где А = 3 рад; В = − 1 рад/с; С = 0,1 рад/с3. Определите

тангенциальное аτ, нормальное an и полное а ускорения точек на ободе диска для момента времени t1 = 10 с.

7. Скорость точки, движущейся по окружности радиусом 4 м, изменяется по закону υ = At + Bt2, где А = 1 м/с2; В = 3 м/с3. Найдите: 1) путь, пройденный точкой за 6 с после начала движения; 2) тангенциальное и полное ускорения точки в момент времени t1 = 1 с.

8.Найдите линейную скорость и нормальное ускорение точек поверхности Земли в ее суточном вращении на широте Минска (ϕ =

=54°, cos 54° = 0,5878). Радиус Земли принять равным 6400 км.

9.Свободно падающее тело в последнюю секунду движения проходит половину всего пути. С какой высоты падает тело и каково время t1 его падения?

10.Найдите угловое ускорение ε колеса, если известно, что через время t1 = 2 с после начала движения вектор полного ускорения

точки, лежащей на ободе, составляет угол α = 60° с вектором ее линейной скорости.

Тема 2. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

44

11. С высоты h = 2 м на стальную плиту свободно падает шарик массой m = 200 г и подпрыгивает на высоту h1 = 0,5 м. Определите изменение p импульса шарика при ударе, а также среднюю силу, полученную стенкой при ударе, если длительность удара t = = 0,01 с.

12. Определите импульс p , полученный стенкой при ударе о нее шарика массой m = 300 г, а также среднюю силу удара, если шарик двигался со скоростью υ0 = 8 м/с под углом α = 60° к плоскости стенки. Удар о стенку считать упругим. Длительность удара t =

=0,02 с.

13.Через блок, укрепленный на конце стола, перекинута нерастяжимая нить, к концам нити прикреплены грузы, один из которых (m1 = 400 г) движется по поверхности стола, а другой (m2 =

=600 г) − вдоль вертикали вниз. Коэффициент трения μ груза о стол равен 0,1. Считая нить и блок невесомыми, определите: 1) ускорение а; 2) силу натяжения Т нити.

=2 с. Определите коэффициент трения μ тела о плоскость.

16.Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с

горизонтом угол α = 45°. Зависимость пройденного телом пути от времени описывают уравнением s = ct 2, где с = 1,73 м/с2. Определите коэффициент трения μ тела о плоскость.

17. Под действием некоторой силы F материальная точка массой m = 2 кг движется прямолинейно согласно уравнению x = 2 + 5t +

45

ивращательного движений твердого тела

21.На обод маховика диаметром d = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Определите осевой момент инерции Ix маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t1 = 3 с приобрел угловую

скорость ω1 = 9 рад/с.

22. Нить с привязанными к ее концам грузами массой m1 = 50 г и m2 = 60 г перекинута через блок диаметром d = 4 см. Определите осевой момент инерции блока, если он вращается с угловым ускорением ε = 1,5 рад/с2.

23. Стержень массой m = 0,3 кг и длиной l = 40 см вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению ϕ =

At +

46