Высшая математика для 1 и 2 курса

то наклонной асимптотой будет прямая y = x .

4.5. Выпуклость и вогнутость графика функции

Определение. График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым в интервале (a; b) , если он расположен ниже лю-

бой своей касательной на этом интервале (рис. 4.2 а).

Определение. График дифференцируемой функции y = f (x) называется вогнутым в интервале (a; b) , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 4.2 б).

O a b x O a b x

График функции в одних интервалах может быть выпуклым, в других – вогнутым. Например, график функции y = sin x , рассматри-

ваемый в интервале от 0 до 2π , выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в интервале (π; 2π) .

Рассмотрим теперь достаточный признак, позволяющий установить, является ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

61

Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f ′′(x) во всех точках интервала (a; b) . Если во всех точках этого интервала f ′′(x) < 0 , то график функции в этом интервале выпуклый, если же f ′′(x) > 0 – вогнутый.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. В этих точках изменяется направление вогнутости графика функции.

В точке перегиба M 0 (x0 ; y0 ) вторая производная f ′′(x0 ) равна нулю или не существует.

Задача 4. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию f (x) = x3 − 3x .

y

Рис. 4.3

4.6. Общая схема исследования функции и построения графика

При исследовании функций и построении их графиков полезно придерживаться следующей схемы:

62

1) найти область определения функции и интервалы непрерывно-

сти;

2)если есть точки разрыва, найти односторонние пределы функции в этих точках и изобразить на чертеже поведение функции в каждой точке разрыва;

3)исследовать функцию на четность и нечетность, периодич-

ность;

4)найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, если они есть;

5)найти интервалы монотонности функции и точки экстремума;

6)найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

7)найти точки пересечения графика функции с координатными осями (если это возможно) и построить график, с учетом полученных результатов.

Решение

1)Функция не определена при x1 = −1 и x2 = 1, поэтому область определения функции D(y) = (− ∞, − 1) U (− 1, 1) U (1, + ∞).

2)Т. к. в точках x1 = 1 и x2 = −1 функция не определена, то это

точки разрыва функции. Исследуем поведение функции в окрестности этих точек. Для этого вычислим односторонние пределы:

Вычисленный односторонний предел оказался бесконечным, поэтому прямая x = 1 будет вертикальной асимптотой графика функции.

Вычислим односторонние пределы функции в точке x2 = −1:

63

Односторонние пределы и в точке x = −1 оказались бесконечными, поэтому прямая x = −1 будет вертикальной асимптотой графика функции.

4) Т. к. односторонние пределы функции в точках x1 = −1 и x2 = 1, то прямые x1 = −1 и x2 = 1 будут вертикальными асимптотами графика

В точках x1 = −1 и x2 = 1 производная не существует.

64

Составим таблицу изменений знака производной y′ (табл. 4.1).

Таблица 4.1

y

Рис. 4.4

6) Интервалы выпуклости и вогнутости найдем по знаку производной второго порядка y′′ . Найдем вторую производную и возмож-

ные точки перегиба:

65

В точках x1 = −1 и x2 = 1 вторая производная не существует. Составим таблицу изменений знака y′′ (табл. 4.2).

ана интервале (–1; 1) – выпуклый. Точек перегиба нет.

7)Учитывая, что y(0) = 0, строим график (рис. 4.4).

Задача 6. Исследовать функцию y = xe− x и построить ее график.

Решение

1)Область определения функции – вся числовая прямая, т. е.

D( y) = R .

2)Данная функция является элементарной функцией, определенной на всей числовой оси, значит, точек разрыва, а следовательно и вертикальных асимптот нет.

3)Т. к. y(- x) ¹ y(x) и y(- x) ¹ -y(x), то y(x) – ни четная, ни

нечетная функция.

4) Исследуем наличие наклонной асимптоты при x → +∞ . Т. к.

то прямая у = 0 – горизонтальная асимптота графика функции при

то при x → −∞ наклонной асимптоты нет.

66

5) Вычислим производную, найдем критические точки, интервалы монотонности и точки экстремума:

y¢ = (xe−x )′ =1×e−x - x ×e−x = (1- x)e−x : y′ = (1 − x)e− x = 0 x = 1.

Составим таблицу изменений знака производной y′ (табл. 4.3).

критическая точка функции. Поскольку в критической точке функция меняет знак с «+» на «–», то x = 1 – точка максимума функции и

y(1) = e−1 = 1 . e

6) Интервалы выпуклости и вогнутости найдем по знаку производной второго порядка y′′ . Найдем вторую производную и возмож-

ные точки перегиба:

y′′ = ((1− x) e−x )′ = −e−x − (1− x) e−x = (x − 2) e−x ; y′′ = (x − 2) = 0 x = 2 .

Составим таблицу изменений знака y′′ (табл. 4.4).

67

7) Учитывая, что y(0) = 0 , строим график функции (рис. 4.5).

y

− 0 2 x

−

Рис. 4.5

68

Тема 5. Неопределенный интеграл

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F (x) называется первообразной для за-

При вычислении неопределенных интегралов используют свойства интегралов, таблицу неопределенных интегралов, различные методы интегрирования, а также тождественные преобразования подынтегральной функции.

Свойства неопределенных интегралов.

1.∫ dF (x) = F (x) + C.

2.∫( f ( x) ± g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx.

Таблица неопределенных интегралов.

α+1

1. ∫ xα dx = αx + 1 + C, (n ¹ -1).

2. ∫ dxx = ln x + C. 3. ∫ ex dx = ex + C.

4. ∫ a x dx = a x + C. lna

69