Высшая математика для 1 и 2 курса
.pdf
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
R |
= A1 A2 |
´ A1 A3 |
= |
3 |
n |
||||
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
RR
j |
k |
|
6 |
- 8 |
|
R |
|
3 |
|
|
|
||||||
6 |
- 8 = |
|
|
- |
||||
|
|
× i |
||||||
4 |
- 6 |
|
4 |
- 6 |
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
RR
=-4 × i + 34 × j + 24 × k .
- 8 |
R |
+ |
3 |
6 |
R |
= |
× j |
× k |
|||||
- 6 |
|
|
- 2 |
4 |
|
|
Синус искомого угла a равен косинусу угла b между векторами n
и A A , т. к. сумма этих углов равна π . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
× A1 A4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 ×5 + 34 × 2 + 24 ×(-1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin a = cosb = |
n |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
|
UUUUR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
× |
|
A1 A4 |
|
|
|
|
|
|
(-4)2 + 342 + 242 × 52 + 22 + (-1)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» 0,1048 , т. е. |
α ≈ arcsin0,1048 ≈ 6º1'´. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1748 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4) Площадь грани A1 A2 A3 вычислим по формуле (1.20): |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1748 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(- 4)2 + 342 + 242 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S = |
|
|
|
´ A1 A3 |
= |
|
|
|
= |
|
= |
|
= 437 |
|
» 20,9 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A1 A2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
5) Объем V пирамиды |
A1 A2 A3 A4 |
найдем по формулам (1.17) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1.21): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
- 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V = |
1 |
|
|
A A × A A × A A |
|
= |
1 |
|
- 2 4 - 6 |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
3 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 - 6 |
|
- 2 - 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
× |
3 × |
- 6 × |
+ (-8) × |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
1 |
× |
|
3 × 8 - 6 × 32 - 8 × (-24) |
|
= |
1 |
× |
|
24 |
|
= 4 (куб. ед.). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6) Уравнение прямой A1 A2 |
найдем по формуле (1.33): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x − 3 |
= |
y − 3 |
= |
z − 9 |
, т. е. |
x − 3 |
= |
y − 3 |
= |
z − 9 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 - 3 9 - 3 1 - 9 |
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
- 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7) Уравнение плоскости A1 A2 A3 |
найдем по формуле (1.38): |
|
|
|
31
|
x − 3 y − 3 z − 9 |
|
|
|
|
|
|
x − 3 y − 3 z − 9 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
6 − 3 9 − 3 1 − 9 |
|
= 0 , т. е. |
|
3 |
6 |
|
|
|
− 8 |
|
= 0 , |
|
|||||||||||||
|
1 − 3 7 − 3 3 − 9 |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
4 |
|
|
|
− 6 |
|
|
|
||||||||||
|
(x − 3) |
|
6 − 8 |
|
− (y − 3) |
|
3 − 8 |
|
+ (z − 9) |
|
|
3 6 |
|
= 0 , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 − 6 |
|
|
|
− 2 |
− 6 |
|
|
|
|
− 2 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
− 4(x − 3) + 34( y − 3) + 24(z − 9) = 0. |
|
||||||||||||||||||||
Отсюда, |
− 4x + 34 y + 24z − 306 = 0 , или 2x − 17 y − 12z − 153 = 0 – |
|||||||||||||||||||||||||
искомое уравнение плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A4 |
|
|
|
|
|
|
|
8) Из |
полученного выше |
||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
плоскости |
следует, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
ее |
|
нормальный |
вектор |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = {2; − 17; − 12}. Нормальный |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
n |
|
перпендикулярен |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости |
A1 A2 A3 , поэтому его |
|||||||||||
A1 |
|
|
|
D |
|
A2 |
|
|
можно взять за направляющий |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вектор высоты, опущенной из |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вершины |
|
A4 |
на эту плоскость. |
|||||||||
|
|
A3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, уравнение этой |
||||||||||||||
|
|
Рис. 1.14 |
|
|
|
|
высоты можно найти по фор- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
муле (1.33): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 8 = y − 5 = z − 8 . 2 − 17 − 12
Задача 2. Записать уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами A(−1; 1) , B(2; − 1) , C(4; 0) .
Решение. Сначала найдем координаты центра окружности. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника.
Поэтому для решения этой задачи поступим следующим образом:
1)составим уравнения сторон AB и AC;
2)найдем координаты середин сторон AB и AC;
3)составим уравнения прямых, перпендикулярных сторонам AB и AC и проведенных через их середины;
4)найдем координаты центра окружности;
5)найдем радиус описанной окружности;
32
6) запишем уравнение описанной окружности. Решение. Для наглядности решения сделаем рис. 1.15.
1) Уравнения сторон AB и AC найдем по формуле (1.28). Уравнение стороны AB будет:
x − (− 1) |
= |
|
y − 1 |
|
, или |
x + 1 |
= |
y −1 |
, т. е. |
y = - |
2 |
x + |
1 |
|
, kAB |
= - |
2 |
. |
|||||||||||||
2 - (-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
-1 -1 |
3 |
|
- 2 |
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
Уравнение стороны AС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x − (− 1) |
= |
y − 1 |
|
, или |
x + 1 |
= |
y −1 |
, т. е. |
y = - |
1 |
x + |
4 |
, kAC |
= - |
1 |
. |
||||||||||||||
4 - (-1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 -1 |
|
5 |
|
-1 |
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
2) Найдем координаты точек M и N , являющихся серединами сторон AB и AC, соответственно, по формулам
xM = |
xA + xB |
= −1 + 2 = |
1 |
; yM |
= |
yA + yB |
= |
|
1 −1 |
= 0 ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
xN = |
xA + xC |
= −1 + 4 = |
3 |
; yN |
= |
yA + yC |
= |
1 + 0 |
= |
1 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, M |
|
|
; 0 |
и |
N |
|
; |
|
– |
середины сторон AB и AC. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Для составления уравнений прямых, проходящих через точки M и N перпендикулярно сторонам треугольника, используем формулу (1.30), найдя предварительно угловые коэффициенты этих прямых из условия (1.31).
|
Т. |
к. |
k AB |
= - |
2 |
|
(см. найденное |
уравнение |
прямой |
AB), |
то |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k = - |
|
1 |
|
= |
3 |
, |
значит, |
уравнение первой прямой, |
проходящей через |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
k AB |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
точку М, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(y − yM ) = k1 (x − xM ), т. е. y - 0 = |
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
× x - |
|
, или y = |
|
x - |
|
. |
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Т. |
к. |
k AC |
= - |
1 |
|
(см. найденное |
уравнение |
прямой |
AC), |
то |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k2 = - |
1 |
|
= 5 , |
значит, |
уравнение второй прямой, |
проходящей через |
||||||||||||||||||
k AC |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
|
y − yN |
= k2 |
(x − xN ), т. е. y - |
1 |
|
3 |
|
|
|
точку N, имеет вид |
|
= 5 x - |
|
, |
или |
||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y= 5x − 7 .
4)Решив систему из найденных двух уравнений, найдем координаты точки О – точки пересечения этих прямых, являющейся центром искомой окружности:
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
x = |
25 |
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = |
|
x - |
|
, |
|
|
x - |
|
= 5x - 7, |
|
14 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
25 |
|
27 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = 5x - 7. |
y |
= 5x - 7. |
y = 5 × |
14 |
- 7 = |
14 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
27 |
|
||
Итак, точка O |
|
; |
|
– |
центр искомой окружности. |
14 |
|
||||
|
|
14 |
|
y
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– 1
B
Рис. 1.15
5) Радиус R описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из вершин треугольника. Расстояние между точками О и А в соответствии с формулами (1.10) и (1.11) равно
|
25 |
2 |
|
27 |
2 |
|
10 |
|
|
||
OA = |
|
|
− 2 |
+ |
|
− 2 |
= |
|
|
|
= R . |
|
|
14 |
|
||||||||
|
14 |
|
14 |
|
|
|
|
34
6) По формуле (1.43) запишем уравнение искомой окружности:
|
25 |
2 |
|
27 2 |
|
10 |
|
||
x − |
|
|
+ y − |
|
|
= |
|
|
|
14 |
|
196 . |
|||||||
|
|
|
14 |
|
Задача 3. Оси эллипса совпадают с осями координат. Большая полуось расположена на оси Ох. Записать уравнение эллипса и сделать чертеж, с изображением директрис, если известно, что расстояние
между фокусами равно 2c = 6 , а эксцентриситет ε = 3 . 5
Решение. Из условия задачи вытекает, что c = 3 . Из определения
эксцентриситета имеем ε = c = 3 = 3 , следовательно a = 5 . По форму- a a 5
ле связывающей а, b и c находим
b = a2 − c2 = 25 −16 = 4 .
|
|
y |
|
|
|
x = − |
25 |
|
B2 (0; 4) |
x = |
25 |
|
|
|
|
||
3 |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
A (−5; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 (−3; 0) |
|
O |
|
|
|
A2 |
(5; 0) |
|
|
|
F (3; 0) |
|
|
x |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 (0; − 4)
Рис. 1.16
Следовательно, искомое уравнение имеет вид x2 + y2 = 1.
|
|
|
|
25 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнения директрис: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = |
a |
= |
5 |
= |
25 |
; |
x = − |
a |
= − |
5 |
= − |
25 |
. |
|
|
|
|
ε |
|
|
|||||||||
|
ε 3 |
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
35
Эллипс и директрисы изображены на рис. 1.16.
Задача 4. Фокусы гиперболы расположена на оси Ох, симметрично начала координат. Записать уравнение гиперболы и сделать чертеж, с изображением директрис и асимптот, если известно, что рас-
стояние между директрисами равно 12 4 , а уравнения асимптот
5
y = ± 3 x . 4
Решение. Так как фокусы гиперболы расположены на оси Ох, то уравнение гиперболы имеет вид
x2 |
− |
y2 |
= 1. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
Найдем а и b. Поскольку расстояние между директрисами равно
12 4 , то уравнение правой директрисы определяется выражением
5
x = |
a |
= |
32 |
. Учитывая то, что ε = |
с |
|
|
, c = |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
b |
= |
3 |
|
имеем |
||||||||||||||||||
a2 + b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ε 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
x = |
a |
= |
a2 |
= |
|
a2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
= |
|
a |
|
|
= |
4a |
= |
32 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ε c |
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
b 2 |
|
|
|
|
9 |
|
|
5 5 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Следовательно |
a = 8, b = 6 , а уравнение гиперболы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− |
y 2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Искомая гипербола изображена на рис. 1.17.
|
x = − 32 |
|
|
|
|
x = |
32 |
|
|||
|
y |
|
|
|
|||||||
|
5 |
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
B2 (0; 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 (−8; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A(8; 0) |
|
||||
F1 (−10; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
F2 (10; 0) x |
|||
|
O |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 (0; − 6)
Рис. 1.17
Задача 5. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(2; 2) и от оси абсцисс. Сделать чертеж.
Решение. Пусть M (x; y) |
|
– |
произвольная точка искомой линии |
|||||||||||||||||
(рис. 1.18). Расстояние MA запишем в соответствии с формулами |
||||||||||||||||||||
(1.10) и (1.11) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
MA = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
(x − 2)2 + (y − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
O |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
N |
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.18 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Расстояние от точки М до оси абсцисс, т. е. до точки N (x; 0), такой, что MN Ox, составит
MN = (x − x)2 + (y − 0)2 = y .
Т. к. по условию задачи MA = MN , то (x − 2)2 + (y − 2)2 = y ,
или, возведя обе части последнего уравнения в квадрат и выполнив тождественные преобразования, получим
x2 − 4x + 4 + y 2 − 4 y + 4 = y 2 , т. е. y = 1 (x − 2)2 + 1. 4
Последнее уравнение есть уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точкеB(2;1).
38
Тема 2. Введение в математический анализ
2.1. Понятие предела функции и основные теоремы о пределах
Множество точек, удовлетворяющих условию a < x < b , называется интервалом и обозначается (a ; b) или ]a; b[ . Интервалы могут
быть конечными и бесконечными. Если один из концов интервала включается в множество, то множество называется полуинтервалом. Например, [a ; b) .
Множество точек, удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b , называется отрезком и обозначается [a ; b].
Окрестностью конечной точки x0 называется любой интервал, содержащий эту точку. Если из окрестности удалить точку x0 , то ок-
рестность называется проколотой.
Определение. Конечное число А называется пределом функции f (x) при x → a , если для любого ε > 0 существует такая проколотая
окрестность точки а, что для всех х из этой окрестности выполняется
неравенство f (x) − A < ε и записывается lim f (x) = A .
x → a
Введем понятие бесконечного предела функции при x → a .
|
Определение. |
Говорят, что |
lim f (x) = ∞ , если для любого сколь |
|||
угодно большого чикла M > 0 , |
x →a |
|
||||
существует такая окрестность точки а, |
||||||
что для всех х |
из этой окрестности выполняется |
неравенство |
||||
|
f (x) |
|
> M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим односторонние пределы. Если x → a и |
x < a, то это |
записывается в виде x → a − 0 . Если же x → a и x > a, то это записывается в виде x → a + 0 . Числа
f (a − 0) = lim f (x) и |
f (a + 0) = lim f (x) |
x →a −0 |
x →a + 0 |
называют пределом слева функции |
f (x) в точке a и пределом справа |
функции f (x) в точке a (если эти числа существуют), соответственно. Для существования предела f (x) при x → a необходимо и дос-
таточно, чтобы имело место равенство f (a − 0) = f (a + 0).
При вычислении пределов используют следующие основные теоремы о пределах.
Если существуют конечные пределы lim f (x) и lim g(x), то: |
|
x →a |
x→a |
39
1) lim( f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x); |
(2.1) |
|||||||
x→a |
|
|
|
x→a |
x→a |
|
||
2) lim( f (x)× g(x) ) = lim f (x)× lim g(x); |
(2.2) |
|||||||
x→a |
|
|
|
x→a |
x→a |
|
||
|
f (x) |
|
|
lim f (x) |
|
|
|
|
3) lim |
|
= |
x →a |
|
(если lim g(x) ¹ 0 ); |
(2.3) |
||
|
lim g(x) |
|||||||
x → a g(x) |
|
|
x → a |
|
||||
|
|
|
|
x →a |
|
|
|
|
|
4) lim( c × f (x) ) = c × lim f (x) . |
(2.4) |
||||||
|
x→a |
|
x→a |
|
Для элементарных функций во всех точках из области их определения
lim f (x) = f (x0 ).
x → x0
Иногда полезно использовать равенства
lim(ln f (x)) = ln lim f (x) , |
||
x→a |
x→a |
|
|
lim f (x) |
|
lim e f (x) = ex →a |
. |
|
x→a |
|
|
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Наконец, следует знать два замечательных предела: 1-й замечательный предел:
|
|
|
lim |
sin x |
= 1; |
|
|
(2.8) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x →0 x |
|
|
|
||
2-й замечательный предел: |
|
|
|
|||||
|
1 x |
= e , или lim(1 + α) |
1 |
|
|
|||
α |
= e . |
|
||||||
lim 1 + |
|
|
|
(2.9) |
||||
|
|
|||||||
x →∞ |
x |
|
|
α→0 |
|
|
|
|
Число e ≈ 2,718282 |
есть иррациональное число. |
Логарифм по |
основанию е называется натуральным логарифмом и записывается ln x , а функция y = ex , называется экспонентой.
Поскольку lim f (x) = f (x0 ) (2.5), то при вычислении пределов
x → x0
прежде всего вместо x подставляем предельное значение (обычно это записывается в квадратных скобках) и, если значение f ( x0 ) определено, применяем основные теоремы о пределах.
40