Высшая математика для 1 и 2 курса

x

dy

= f (u) - u , ∫

du

= ∫

dx

+ c .

dx

f (u) - u

x

куда x

du

= u(ln u -1),

du

=

dx

.

u(lnu -1)

dx

x

Проинтегрировав обе части последнего соотношения, получим:

∫

dx

+ ln

c

= ∫

du

, ln

x

+ ln

c

= ∫

d (ln u)

,

x

u(lnu -1)

ln u -1

ln

cx

= ∫

d (ln u − 1)

= ln

ln u -1

.

ln u -1

y

= ecx+1 .

Итак, cx = ln u −1, ln u = cx + 1, u = ecx+1 ,

x

Отсюда получаем y = x × ecx+1 – общее решение уравнения.

y′ + p(x) y = q(x) ,

(7.7)

где

p(x) и q(x) непрерывные функции от переменной x, называется

линейным уравнением 1-го порядка.

y(x) = u(x) × v(x) . Тогда

Решение этого уравнения ищут в виде

y

′

′

′

и (7.7) преобразуется в

′

′

+ p(x) × uv = q(x) ,

или

= u v + uv

u v + uv

′

+ u(v

′

+ p(x)v) = q(x) . Функцию v(x)

находят из условия

u v

v′ + p(x) v = 0 .

(7.8)

После чего, решая уравнение

91

u′v = q(x)

(7.9)

лучим u¢v + u(v¢ + 2xv) = xe− x 2 .

Найдем v(x) из условия

v′ + 2xv = 0

(уравнение

(7.8)). Имеем

dv

= −2xv ,

∫

dv

= −∫ 2xdx , ln

v

= -x2 , v(x) = e−x2 .

dx

v

Далее найдем u(x) из условия

u¢ × e− x 2 = x ×e− x2 (уравнение (7.9)).

Получим u′ = x , du = xdx , u = ∫ xdx + c , т. е. u(x) =

x2

+ c .

2

2

− x2

x

2

–

общее решение исходного

Следовательно, y(x) =

+ c × e

2

x = 0 и

y(0) = 1, получим:

уравнения. Подставляя в общее решение

x2

−

x2

1 = (0 + c)×1, т. е. c = 1. Следовательно, y(x) =

+1 × e 2 – искомое

2

F (x; y; y′; y′′) = 0.

(7.10)

92

y

x=x0

= y

,

y′

x=x0

= y′ .

0

0

1) Уравнение вида

y′′ = f (x).

(7.11)

Делаем замену y′ = z(x) , тогда

y′′ = z′(x)

и уравнение (7.11) сво-

дим к уравнению первого порядка

z′ = f (x) . Решая это уравнение,

F (x; y′; y′′) = 0 ,

(7.12)

т. е. уравнение явно не содержащее искомую функцию

y . Данное

уравнение решается с помощью замены y′ = z(x) . Тогда

y′′ = z′(x) и

уравнения (7.12) принимают вид z′ = f (x; z(x)) .

3) Уравнения вида

y′′ = f (y; y′),

(7.13)

Задача 4.

Найти общее решение уравнения y′′ = cos x .

Решение. Т. к. уравнение имеет вид (7.11), то, проинтегрировав

обе его части, получим

y′ = ∫ cos xdx + c1 = sin x + c1 . Проинтегрировав

последнее

уравнение,

найдем

искомое

общее

решение:

y = ∫ (sin x + c1 )dx + c2 , т. е. y(x) = − cos x +c x + c .

1

2

Задача 5.

Найти общее решение уравнения 2xy′′ = y′′ .

93

Решение. Т. к. уравнение имеет

вид

(7.12),

то,

сделав замену

′

= z(x), получим

′′

′

′

dz

=

dx

y

y

.

Проинтег-

= z (x) и 2xz (x) = z(x), или

z

2x

рировав обе части последнего уравнения, получим ln

+ ln

= ln

,

z

c1

x

т. е. c1 z =

dy

=

x

или c1

x .

dx

∫ c1dy = ∫

Интегрируя

последнее

xdx + c2 ,

получим:

y(x) =

2

3

+

c2

=

2

c2* =

c2

x

.

Обозначив c1*

,

,

окончательно имеем:

2

3 c1

c1

3c1

c1

3

y(x) = c1* x

+ c2* .

2

Задача 6. Найти частное решение уравнения

y × y¢¢ = (y¢)2 , удовле-

творяющее начальным условиям y(0) = 1, y′(0) = 1.

Решение. Уравнение имеет вид (7.13), поэтому, выполним замену

dp

dp

dp

y′ = p( y) ,

получим: y¢¢

=

p

,

y

× p

= p

2 ,

p y

− p

= 0 . Отсю-

dy

dy

dy

да следует, либо p = 0 ,

т. е. y′ = 0 , что не удовлетворяет начальным

данным, либо y

dp

- p = 0 .

dy

Разделив переменные в последнем уравнении и проинтегрировав,

последовательно

получим

y

dp

= p ,

∫

dp

= ∫

dy

+ ln

c1

,

dy

p

y

ln

p

= ln

y

+ ln

c1

,

ln

p

= ln

c1 y

,

p = c1 y , или

′

y (x) = c1 y(x). При x = 0

последнее

равенство

с

учетом

начальных

данных

принимает

вид

3 = c1 ×1,

т.

е.

c1 = 3 .

Поэтому

′

dy

= 3y ,

или

y (x) = 3 × y(x),

dx

∫

dy

= 3∫ dx + c2 , ln

y

= 3x + c2 .

y

Получаем решение

y(x) = e3x +c2 .

Подставим в это решение на-

чальные условия

x = 0 и

y = 1,

получим

y(0) = e0+c2 ,

1 = ec2 . Отсюда

находим c2 = 0 . Итак,

y(x) = e3 x

–

искомое частное решение.

y′ + p × y′ + q × y = f (x),

(7.13)

y =

y

+ y* .

(7.14)

Однородное уравнение

y′′ + py′ + qy = 0

(7.15)

λ2 + pλ + q = 0 .

(7.16)

Решаем характеристическое уравнение.

Вид общего решения

1.

Если l1 и l2 действительные и разные, т. е. l1 ¹ l2 , то

y ( x) = c eλ1x + c eλ2 x .

(7.17)

1

2

2.

Если

l1 и l2

действительные и одинаковые, т. е. l1 = l2 , то

y ( x) = (c + c x) eλ1x .

(7.18)

1

2

3.

Если

l1 и l2

комплексно-сопряженные числа, т. е. λ1, 2

= α ± βi

, где i =

, то

− 1

y ( x) = eαx (c cosβx + c sin βx) .

(7.19)

1

2

Здесь c1

и c2 произвольные постоянные.

и решим его: l1, 2

=

5 ±

52

- 4 × 6

=

5 ± 1

, т. е. λ1 = 3 , λ

2 = 2 . По фор-

2

2

муле (7.17) записываем искомое общее решение: y ( x) = c e3x

+ c e2 x .

1

2

и решим его: l1, 2 = - 6 ±

62 - 4 × 9

= - 6 ± 0 , т. е. λ1 = λ2 = −3 .

2

2

По формуле (6.18) записываем искомое решение:

y ( x) = (c + c x)e−3 x .

1

2

Задача 9. Найти общее решение уравнения

y′′ + 4 y′ + 29 y = 0 .

Решение.

Составим

характеристическое

уравнение

l2 + 4l + 29 = 0 и решим его:

l1, 2 = - 4 ±

= - 4 ± 10 ×

= -2 ± 5 × i .

42 - 4 × 29

= - 4 ±

2

-100

-1

2

2

По формуле (7.19) записываем искомое решение:

y ( x)

= e−2 x (c cos5x + c sin 5x) .

1

2

Метод отыскания частного решения

y* (x) уравнение (7.13) рас-

смотрим для двух специальных видов

f (x).

1. Пусть

f (x) = Pn (x)eαx , где

Pn (x) –

многочлен степени n, т. е.

пусть уравнение (7.13) имеет вид

y′′ + py′ + qy = Pn (x)eax .

(7.20)

Тогда, если число a совпадает с k корнями (k = 1, 2)

характери-

стического уравнения (7.16), то частное решение y*

уравнения (7.20)

следует искать в виде

y* = xk × Q (x)eax ,

(7.21)

Замечание 2. Если

f (x) = eax , P (x) = P (x) = 1, и в этом случае

n

0

Qn (x) = Q0 (x) = A , где A = const .

2. Пусть f (x) = eax (m cosbx + nsin bx) ,

т. е. пусть уравнение (7.13)

имеет вид

y′′ + py′ + qy = eax (mcosbx + nsin bx) .

(7.22)

Тогда если комплексное число a ± ib

совпадает с корнями харак-

теристического уравнения (7.16), то частное решение

y* уравнения

(7.22) следует искать в виде

y* = xeax (M cosbx + N sin bx).

(7.23)

Если же комплексное число a ± ib не совпадает с корнями харак-

теристического уравнения (7.16), то частное решение

y* уравнения

(7.22) следует искать в виде

y* = eax (M cosbx + N sin bx).

(7.24)

корни характеристического уравнения (7.16) λ1, 2

= ±ib , то частное ре-

шение y* уравнения (7.22) следует искать в виде

y* = x(M cosbx + N sin bx),

(7.25)

если же l1, 2 ¹ ±ib , то

y* = (M cosbx + N sin bx).

(7.26)

Замечание 4. Если f (x) = m cosbx или f (x) = n sin bx ,

y* все равно

следует искать в общем виде (7.25) или (7.26),

т. е. и с cos bx , и с

sin bx .

Задача 10. Найти общее решение уравнения

y′′ - 7 y′ + 6 y = (x - 2)× e3 x .

Решение. Найдем сначала общее решение

(x)

однородного

y

уравнения y′′ − 7 y′ + 6 y = 0 .

Для этого составим характеристическое уравнение l2 - 7l + 6 = 0

и решим его:

l1, 2 =

7 ±

72 - 4 × 6

=

7 ± 5

, т. е. λ1 = 6 , λ2 = 1 .

2

2