Волк_Высшая математика.2010

Задача 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой x = acost ,

то данные параметрические уравнения описывают эллипс. Вычислим площадь S1 части эллипса, расположенной в первой четверти

(рис. 6.5), по формуле (6.6):

Отсюда площадь всего эллипса S = 4S1 = πab (кв. ед.).

y

b

Рис. 6.5

Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой r =1 − cos ϕ.

Решение. Данная линия является кардиоидой (рис. 6.6), функция r(ϕ) определена при всех значениях аргумента, имеет период 2π.

Искомую площадь вычислим по формуле (6.7):

81

так как sin 2πn = 0 , n Z .

y

a

O x

Рис. 6.6

6.4. Применение определенного интеграла для вычисления длин дуг плоских кривых

α

82

Длина L кривой, заданной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤β, вычисляется по формуле

α

Задача7. Вычислитьдлинудугикривой y = ln(1 − x2 ), если 0 ≤ x ≤ 12 .

Решение. Используем формулу (6.8), преобразовав предварительно подынтегральную функцию:

Поэтому

то используем формулу (6.9), преобразовав предварительно подынтегральную функцию:

= (2t)2 + (t 2 −1)2 = 4t 2 + t 4 − 2t 2 +1 = (t 2 +1)2 = t 2 +1.

Находим пределы интегрирования из условия у = 0 и получаем:

83

6.5. Применение определенного интеграла для вычисления объемов тел вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) , осью Оx и двумя

прямыми x = a и x = b (рис. 6.7), вычисляется по формуле

a

Аналогично объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной кривой x = g(y) , осью

Оy и двумя прямыми y = c и y = d (рис. 6.8), вычисляется по формуле

6.6. Несобственные интегралы

Пусть функция f ( x) непрерывна на промежутке [a; + ∞) , тогда она интегрируема на любом отрезке [a; b], где a < b < +∞.

Определение. Несобственным интегралом функции f ( x) по бесконечному промежутку [a; +∞) называется предел, определяемый равенством

Если этот предел существует и является конечным, то несобственный интеграл (6.13) называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимися.

Аналогично определяются несобственные интегралы по бесконечным промежуткам (−∞; a] и ( −∞; +∞) :

Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке [ a; b ] и не ограничена при x = b , тогда несобственный интеграл от неограниченной функции f ( x) на отрезке [ a; b ] определяется равенством

Если этот предел существует и является конечным, то несобственный интеграл (6.16) называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами в точках a и c , если a < c < b.

+∞ dx

Задача 10. Вычислить несобственный интеграл ∫0 1 + x2 (или до-

казать его расходимость).

85

Решение. Используем формулу (6.13):

= lim (arctgb −arctg 0) = π −0 = π .

b→+∞ 2 2

Итак, несобственный интеграл сходится и равен π2 .

Итак, несобственный интеграл расходится.

86

Тема 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

7.1. Общие понятия. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных и линейных

Определение. Дифференциальным уравнением называется урав-

нение, связывающее независимую переменную х с искомой функцией y(x) и ее производными, записывается в виде

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, существенно входящей в уравнение.

Уравнение (7.1) – дифференциальное уравнение n-го порядка. Определение. Решением или интегралом дифференциального

уравнения называется всякая функция, которая будучи подставленной в уравнение обращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае записывается в виде

Если дифференциальное уравнение (7.2) можно разрешить относительно y′, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной и записывается

называется задачей Коши.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = ϕ(x; c) , зависящая от аргумен-

та х и произвольной постоянной c и удовлетворяющая следующим двум условиям:

87

1)при любом значении произвольной постоянной с она обращает уравнение в тождество;

2)для любых начальных условий (7.4) существует единственное

значение произвольной постоянной c = c0 такое, что решение y = ϕ(x; c0 ) удовлетворяет данному начальному условию.

Определение. Решение, полученное из общего решения при конкретном значении c = c0 , называется частным решением дифференци-

ального уравнения.

Рассмотрим решение некоторых типов дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение вида

f2 ( y) ≠ 0 , то, разделив переменные в (7.5) и проинтегрировав обе части

Задача 1. Решить уравнение y′ = xy .

Решение. Разделив переменные в уравнении dydx = xy , получим

dyy = dxx . Поэтому ∫ dyy = ∫ dxx +ln c , т. е. ln y = ln x + ln c , ln y = ln cx .

Итак, y = cx – искомое общее решение. Решение y = 0 получается из формулы общего решения при c = 0 .

называется однородным уравнением 1-го порядка. Для решения этого уравнения вводят новую функцию u(x) = y(xx) .

88

u′x + u = f (u). Разделяя переменные в этом уравнении, последовательно получим:

находят функцию u(x) .

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.7) сводится к решению двух уравнений (7.8) и (7.9) с разделяющимися переменными.

Замечание. При решении уравнения (7.8) произвольную постоянную с полагают равной нулю, находят частное решение.

Задача 3. Найти частное решение уравнения y′ + 2xy = xe−x2 , удов-

летворяющее начальному решению y(0) =1.

Решение. Решение данного линейного дифференциального урав-

частное решение уравнения.

7.2. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка

Дифференциальное уравнение называется уравнением, допускающим понижение порядка, если путем введения новой переменной, его можно свести к уравнению более низкого порядка.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка в общем случае записывается в виде

90