Волк_Высшая математика.2010

в качестве которого можно взять векторное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 , вычисляемое по формуле (1.16):

= −4 i + 34 j + 24 k .

Синус искомого угла α равен косинусу угла β между векторами n

и A1 A4 , так как сумма этих углов равна π2 . Поэтому

=16 3 8 − 6 32 −8 (−24) = 16 24 = 4 (куб. ед.).

6)Уравнение прямой A1 A2 найдем по формуле (1.33):

31

7) Уравнение плоскости A1 A2 A3 найдем по формуле (1.38):

− 4(x −3) + 34( y −3) + 24(z −9) = 0.

Отсюда, − 4x + 34 y + 24z −306 = 0 , или 2x −17 y −12z −153 = 0 –

искомое уравнение плоскости.

8) Из полученного выше уравнения плоскости следует, что ее нормальный вектор n ={2; −17; −12}.

Нормальный вектор n перпендикулярен плоскости A1 A2 A3 , поэтому

его можно взять за направляющий вектор высоты, опущенной из вершины A4 на эту плоскость. Следовательно, уравнение этой высоты

можно найти по формуле (1.33):

x 2−8 = y−−175 = z−−128 .

Задача 3. Найти уравнение окружности, описанной около тре-

угольника с вершинами А(–1; 1), В(2; –1), С(4; 0).

Решение. Сначала найдем координаты центра окружности. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника.

Поэтому для решения этой задачи поступим следующим образом:

1)составим уравнения сторон AB и AC;

2)найдем координаты середин сторон AB и AC;

3)составим уравнения прямых, перпендикулярных сторонам AB

иAC и проведенных через их середины;

4)найдем координаты центра окружности;

5)найдем радиус описанной окружности;

6)запишем уравнение описанной окружности.

Для наглядности решения сделаем рис. 1.15.

1) Уравнения сторон AB и AC найдем по формуле (1.28). Уравнение стороны AB будет:

32

2) Найдем координаты точек M и N, являющихся серединами сторон AB и AC соответственно, по формулам

3) Для составления уравнений прямых, проходящих через точки M и N перпендикулярно сторонам треугольника, используем формулу (1.30), найдяпредварительноугловыекоэффициентыпрямыхизусловия(1.31).

y= 5x − 7 .

4)Решив систему из двух уравнений, найдем координаты точки О1 – точкипересеченияпрямых, являющейсяцентромискомойокружности:

33

y

–1

B

Рис. 1.15

5) Радиус R описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из вершин треугольника. Расстояние между точками О1 и А в соответствии с формулами (1.10) и (1.11) равно

6) По формуле (1.43) запишем уравнение искомой окружности:

Задача 4. Оси эллипса совпадают с осями координат. Большая полуось расположена на оси Ох. Записать уравнение эллипса и сделать

34

чертеж с изображением директрис, если известно, что расстояние между фокусами равно 2c = 6 , а эксцентриситет ε = 53 .

Решение. Из условия задачи вытекает, что c = 3 . Из определения эксцентриситета имеем ε = ac = a3 = 53 , следовательно a = 5 . По формуле,

связывающей а, b и c, находим

b = a2 −c2 = 25 −16 = 4 .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

x2 + y2 =1. 25 16

Уравнения директрис:

Эллипс и директрисы изображены на рис. 1.16.

y

B1 (0; − 4)

Рис. 1.16

Задача 5. Фокусы гиперболы расположены на оси Ох симметрично началу координат. Записать уравнение гиперболы и сделать чертеж с изображением директрис и асимптот, если известно, что расстояние

между директрисами равно 12 54 , а уравнения асимптот y = ± 34 x .

35

Решение. Так как фокусы гиперболы расположены на оси Ох, то уравнение гиперболы имеет вид

Найдем а и b. Поскольку расстояние между директрисами равно

12 54 , то уравнение правой директрисы определяется выражением

B1 (0; − 6)

Рис. 1.17

Задача 6. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(2; 2) и от оси абсцисс. Сделать чертеж.

36

Решение. Пусть M (x; y) – произвольная точка искомой линии (рис.

1.18). Расстояние MA запишем в соответствии с формулами (1.10) и (1.11) в виде

MA = (x − 2)2 + (y − 2)2 .

y

или, возведя обе части последнего уравнения в квадрат и выполнив тождественные преобразования, получим:

x2 − 4x + 4 + y2 − 4 y + 4 = y2 , т. е. y = 14 (x − 2)2 +1.

Последнее уравнение есть уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точкеB(2;1).

37

Тема 2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2.1.Понятие предела функции

иосновные теоремы о пределах

Множество точек, удовлетворяющих условию a < x < b , называется интервалом и обозначается (a; b) или ]a; b[ . Интервалы могут

быть конечными и бесконечными. Если один из концов интервала включается в множество, то множество называется полуинтервалом. Например, [a; b) .

Множество точек, удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b , называется отрезком и обозначается [a; b].

Окрестностью конечной точки x0 называется любой интервал, содержащий эту точку. Если из окрестности удалить точку x0 , то ок-

рестность называется проколотой.

Определение. Конечное число А называется пределом функции f (x) при x → a , если для любого ε > 0 существует такая проколотая

окрестность точки а, что для всех х из этой окрестности выполняется

неравенство f (x)− A < ε и записывается lim f (x) = A.

x→a

Введем понятие бесконечного предела функции при

Определение. Говорят, что lim f (x) = ∞, если для любого сколь

x→a

угодно большого числа M > 0 существует такая окрестность точки а,

что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f (x) > M .

Рассмотрим односторонние пределы. Если x → a и x < a, то это записывается в виде x → a −0 . Если же x → a и x > a, то это записывается в виде x → a + 0 . Числа

называют пределом слева функции f (x) в точке a и пределом справа функции f (x) в точке a (если эти числа существуют), соответственно.

Для существования предела f (x) при x → a необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство f (a −0) = f (a + 0).

При вычислении пределов используют следующие основные теоремы о пределах.

38

записывается в квадратных скобках) и, если значение f ( x0 ) опреде-

и другие, которые называются неопределенностями. Полученные неопределенности нужно «раскрывать» специальными методами, учитывая характер стремления к пределу отдельных функций, составляющих данную функцию.

Рассмотрим основные приемы раскрытия некоторых видов неопределенностей.

1)При нахождении предела отношения двух многочленов при x → ∞, числитель и знаменатель дроби полезно разделить на xn , где n – наивысшая степень этих многочленов.

При решении задачи применили деление числителя и знаменателя

дроби на x2 и использовали соотношения (2.1)–(2.3).

Иногда аналогичный прием можно применить и для дробей, со-

квадратного трехчлена, получим:

40