Волк_Высшая математика.2010

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. В этих точках изменяется направление вогнутости графика функции.

В точке перегиба M0 (x0 ; y0 ) вторая производная f ′′(x0 ) равна нулю или не существует.

Задача 4. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию f (x) = x3 −3x .

y

Рис. 4.3

4.6.Общая схема исследования функции

ипостроения графика

При исследовании функций и построении их графиков полезно придерживаться следующей схемы:

1)найти область определения функции и интервалы непрерыв-

ности;

2)если есть точки разрыва, найти односторонние пределы функции в этих точках и изобразить на чертеже поведение функции в каждой точке разрыва;

61

3)исследовать функцию на четность и нечетность, периодич-

ность;

4)найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, если они есть;

5)найти интервалы монотонности функции и точки экстремума;

6)найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

7)найти точки пересечения графика функции с координатными осями (если это возможно) и построить график с учетом полученных результатов.

Решение

1)Функция не определена при x1 = −1 и x2 =1, поэтому область определения функции D( y) = (−∞; −1) (−1;1) (1; +∞).

2)Так как в точках x1 =1 и x2 = −1 функция не определена, то это

точки разрыва функции. Исследуем поведение функции в окрестности этих точек. Для этого вычислим односторонние пределы:

Вычисленный односторонний предел оказался бесконечным, поэтому прямая x =1 будет вертикальной асимптотой графика функции.

Вычислим односторонние пределы функции в точке x2 = −1:

Односторонние пределы и в точке x = −1 оказались бесконечными, поэтому прямая x = −1 будет вертикальной асимптотой графика функции.

62

4) Так как односторонние пределы функции в точках x1 = −1 и x2 =1 равны бесконечности, то прямые x1 = −1 и x2 =1 будут вертикальными асимптотами графика функции.

асимптота графика функции и при х→+∞, и при х→ – ∞.

5) Вычислим производную, найдем критические точки, интервалы монотонности и точки экстремума:

При x (0;1) (1; +∞) производная y′ < 0 , следовательно, на этих

интервалах функция убывает.

Поскольку y′(0) = 0 , то x = 0 – единственная критическая точка функции, а так как y′ меняет знак в точке 0 с « + » на « – », то x = 0 – точка максимума функции, причем y(0) = 0 .

6) Интервалы выпуклости и вогнутости найдем по знаку производ-

Итак, на интервалах (–∞; –1) и (1; +∞) график функции вогнутый,

ана интервале (–1; 1) – выпуклый. Точек перегиба нет.

7)Учитывая, что y(0) = 0, строим график (рис. 4.4).

y

4

3

2

1

0

−1

−2

Рис. 4.4

64

Задача 6. Исследовать функцию y = xe−x и построить ее график.

Решение

1)Область определения функции – вся числовая прямая, т. е.

D( y) = R .

2)Данная функция является элементарной функцией, определенной на всей числовой оси, значит, точек разрыва, а следовательно

ивертикальных асимптот нет.

3)Поскольку y(− x) ≠ y(x) и (− x) ≠ −y(x), то y(x) – ни чет-y

ная, ни нечетная функция.

4) Исследуем наличие наклонной асимптоты при x → +∞. Так как

то прямая у = 0 – горизонтальная асимптота графика функции при

Так как y′ > 0 при x <1 и y′ < 0 при x >1, то функция при x <1 возрастает, а при x >1 убывает. Так как y′(1) = 0 , то x =1 – един-

ственная критическая точка функции. Поскольку в критической точке функция меняет знак с « + » на « – », то x =1 – точка максимума

функции и y(1) = e−1 = 1e .

6) Интервалы выпуклости и вогнутости найдем по знаку производной второго порядка y′′. Найдем вторую производную и возмож-

ные точки перегиба:

y′′ = ((1− x) e−x )′ = −e−x −(1− x) e−x = (x −2) e−x ; y′′ = (x − 2) = 0 x = 2 .

Составим таблицу изменений знака у′′ (табл. 4.4).

Так как y′′ > 0 при x > 2 и y′′ < 0 при x < 2 , то при x > 2 график функции вогнутый, а при x < 0 – выпуклый. Так как в точке x = 2 y′′ меняет знак, то точка M (2; 2a−2 ) – точка перегиба графика функции.

7) Учитывая, что y(0) = 0 , строим график функции (рис. 4.5).

y

−1

Рис. 4.5

66

Тема 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной для заданной функции f (x), если F′(x) = f (x).

Определение. Множество всех первообразных для функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается ∫ f ( x)dx .

При вычислении неопределенных интегралов используют свойства интегралов, таблицу неопределенных интегралов, различные методы интегрирования, а также тождественные преобразования подынтегральной функции.

Свойства неопределенных интегралов

1.∫ dF(x) = F(x)+C.

2.∫( f ( x) ± g ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx.

Таблица неопределенных интегралов

xα+1

1. ∫ xαdx = α +1 +C, (n ≠ −1). 2. ∫ dxx = ln x +C.

3. ∫ ex dx = ex +C.

4. ∫ ax dx = ax + C. lna

5.∫sin xdx = −cos x + C.

6.∫ cos xdx = sin x +C.

67

7.∫ cosdx2 x = tgx + C.

8.∫ sindx2 x = −ctgx + C.

Решение. Используя свойства и таблицу неопределенных интегралов, получим:

5.2. Вычисление неопределенного интеграла методом замены переменной

Во многих случаях удается введением вместо переменной интегрирования x новой переменной t свести данный интеграл ∫ f (x)dx к новому интегралу, который или содержится в таблице основных

68

Этой формулой пользуются в том случае, когда интеграл ∫ vdu

более простой, чем ∫ udv . Укажем некоторые часто встречающиеся

интегралы, которые вычисляются методом интегрирования по частям. 1. Интегралы вида

∫ Pn (x) eαx dx ;

∫Pn (x)sin αxdx ;

∫Pn (x)cos αxdx ,

где Pn (x) – многочлен n-й степени, а α некоторое число. Интегралы этих типов берутся по частям, если принять u = Pn (x), а оставшуюся часть за dv .

мулу интегрирования по частям, получим:

∫(x2 +1) e3 x dx = 13 (x2 +1)e3 x − 23 ∫ xe3 x dx + C .

Снова полагая u = x и dv = e3xdx , т. е. du = dx, v = 13 e3x , по-

лучим:

∫ xe3xdx = 13 xe3x − 13 ∫e3x dx = 13 xe3x − 19 e3x + C.

Итак, окончательно имеем:

2. Интегралы вида

∫ Pn (x) arcsin xdx ;

70