60. Теорема Абеля

Теорема. Если степенной ряд сходится приx = x₁ , то он сходится и притом абсолютно для всех .

61. Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда

Является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R)

2. Степенные ряды,имеющие радиусы сходимости соотв-о, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядом не меньше чем меньшее из чисел

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда (пиши вместо скобки простоx)

При -Rвыполняется равенство

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда

(пиши вместо скобки просто x) при -R

62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Ряд Тейлора:

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением 

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:

1) , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Маклорена (Тейлора при а=0)определяется выражением 

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена

Разложение функции f(x)=e^x в ряд Маклорена:

f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=…=e^x.

f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)=…=1.

Составим для функции f(x)=e^x формально ряд Маклорена:

1+.

Найдём области сходимости этого ряда.

при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любыхх и тем более при любыхх. Так как f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x и f⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=e^с, то =e^c=0. Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞)

e^x=1+

64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов

Eсли подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Вычислить интеграл с точностью до 0,001. Решение.Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.. Следовательно,.

65) Приближенное решение ду

Пусть необходимо найти решение у(х) задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка:Ищем у(х) в виде ряда Тейлора:

(1)

Значенияизвестны, поэтому определяется

сразуДля нахождения следующих коэффициентов ряда (1) необходимо брать последовательно производные оти подставлять в них известные уже значения предыдущих производных.

Пример: Найти первые три члена разложения в с.р. решения задачи Коши

у(х) ищем в видеИмеем:

Таким образом,Изложенный метод применим для приближенного решения уравнений любого порядка

66) Дискретное вероятностное пространство

Если множество элементарных исходов конечно или счетно:, то соответствующее вероятностное пространство называетсядискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходучислотак, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого событиязадается следующим образом: