33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ — обобщение ОИ на случай ф-ций 2-х переменных.

Пусть в замкнутой области D пл-ти Oxy задана непрер. z = f(x;y). Разобьем D на n частей D_i, обозначим их площади через ∆S_i, а диаметры — через d_i. В каждой D_i выберем произв. т. M_i(x_i;y_i) и умножим значение f(x_i;y_i) в этой т. на ∆S_i. Составим f(x₁;y₁)∆S_i + f(x₂;y₂)∆S_i + … + f(x_n;y_n)∆S_n = ∑ f(x_i;y_i)∆S_i — интегральную сумму f(x;y). Рассм. lim, когда n → ∞, что maxd_i → 0. Если этот lim Ǝ и не завис. от сп. разбиения D на части, ни от выбора точек в них, то он наз. ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ и опред. равенством:

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ Ф-ЦИИ: если ф-ция z = f(x;y) непрер. в D, она интегрируема в этой области.

34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела.

Сверху тело ограничено поверхностью z = f(x;y), снизу  — замкнутой областью D пл-ти Оxy, с боков — цилиндрической пов-тью, ǁ Oz, направляющая — граница области D.

Найдем V: разобьем D на n областей D_i, площади кот. = ∆S_i. Рассм. столбики с основаниями D_i, ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y), обозначим их через ∆V_i. Получим V = ∑∆V_i. В каждой D_i возьмем M_i(x_i;y_i) и заменим столбики прямыми цилиндрами, ∆V_i ≈ f(x_i;y_i)∆S_i.

ФИЗИЧЕСКИЙ: масса плоской пластинки

35. Основные свойства двойного интеграла.

1.

2.

3.

4. Если f(x;y)≥0, . Еслиf(x;y)≥ φ(x;y),

5. т. к.

6. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то , гдеm и M — соотв. наиб. и наим. значения подынтегральной ф-ции в D.

7. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то в этой обл-ти Ǝ такая т. (x₀;y₀), что . Величинаf(x₀;y₀) = … — среднее значение ф-ции f(x;y) в обл-ти D.

36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Пусть требуется вычислить , гдеf(x;y)≥0, непрер. в D. Двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху z = f(x;y). Т. к. ,S(x) — площадь сечения пл-тью, ﬩оси Ox, a и b — ур-я пл-тей, огранич. данное тело. D — криволинейная трапеция, правильная относит. Oy, . Согласно методу параллельных сечений. Также объем цил. тела — двойной интеграл отf(x;y)≥0.

37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

x = rcosφ, y = rsinφ, dxdy = rdrdφ.

Внутренний интеграл берется при постоянном φ.

38. Приложения двойного интеграла (объем тела, площадь плоской фигуры, масса плоской пластинки, статистические моменты, моменты инерции)

ОБЪЕМ ТЕЛА:

ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ:

МАССА ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ: .γ = γ(x;y) — плотность

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ: и

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛ. ФИГУРЫ: и

МАССА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ: γ = γ(x;y) — поверхностная плотность — непрер. ф-ция координат т. (x;y). Разобьем пластинку D на n D_i, обозначим их площади через ∆S_i, возьмем M_i(x_i;y_i) и найдем плотность в ней. Плотность в каждой т. D_i const, найдем m_i ≈ γ(x;y)∆S_i. Т. к. m = ∑m_i, m ≈ ∑γ(x;y)∆S_i. n→∞ и maxd_i→0.

39-40.

х,y,z-const.Отметим,что поскольку разбивать рассм-ую обл.интег.можно произв.образом,то разбивая ее коорд.пов-ми в декарт.сист.коорд.

Тр.интег.f(x,y,z)dxdydz

DcR

D простая в пространстве будем считать простой в направлении z,если она:

1)проец.на пл-ть Оxy

2)ограничена сверху z=z₂ (x,y),снизу z=z₁(x,y),(x,y)€D

По аналогии с предыд.пол-ем случай правильной обл.D(и по x,y,z прав),получим сведение к 1-му из 6 интег.

тр.интег.f(x,y,z)dxdydz=

41.Замена переменных в тройном интеграле

Пусть совершена подстановка x= ,y= ,z= . Если эти ф-ции имеют в некоторой областиV^* пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от 0 определитель

,

То справедлива формула:Здесь  — определитель Якоби, или якобиан преобразования.

42. Приложения тройного интеграла (объем, масса тела, статические моменты, моменты инерции тела).

1. Объем тела

—в декартовых координатах

2. Масса тела

, при заданной плотности

3.Статические моменты (относительно координатных плоскостей)

4. Моменты инерции тела

43.кри 1-го рода,их выч-е и св-ва(неориентированная)

В нек.окр.дуги L задано нек.скаляр.поле u=u(M)(1)

u=(M)-лин.пл-ть (поле масс)

Задача о массе материал.дуги Lю

Для реш.ввод.скаляр.эл-т дуги.

dS=(2)

d=

d_m=(M)dS(3)

интегрируем m_L=(4)

Вычисление:Пусть кри L зад-ся парам-ки:

L:,t€[t₀,t₁],где ф.x(t),y(t),z(t) предполаг-ся непрерывно диф-ми и в нуль не обращаются

Учитывая,что dS скаляр-й эл-т дуги,в этом случае,==dt,t₀‹t

Сведение кри1 к опред.интег.

, t₀‹t₁

св-ва:во многом аналог.св-вам опред.интег.В частности имеется св-во лин-ти,аддетивности.

После рассматривания этих св-в возник.вопр.,какой из кри более близкий родственник к опред.интег.

Замеч.:если криволин.интег.расс-ся по замкнутой дуге,то

44. В пл-ти задана кривая АВ и функция Р(х,у). Если существует конечный предел интегральной суммы , гдепроекция дуги на ось Ох, не зависящий от вида разбиения и выбора точек, то его называюткриволинейным интегралом второго рода от ф-и Р(х,у) по кривой АВ. По х, по у. Общий вид КРИ-2.Т-ма существования: если кривая АВ гладкая и ф-и Р(х,у) и Q(х,у) непрерывные на АВ, то КРИ-2 существует. Свойства: 1) при измен.пути интегрир.КРИ меняет знак 2)если кривая разбита точкой на 2 части, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям3)если кривая АВ лежит в пл-ти, перпендикулярной оси Ох, то(все), аналогично дляy 4) КРИ от замкнутой кривой не зависит от от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой). Вычисление:

.

Связь КРИ-1 и КРИ-2: связаны соотношением , где альфа и бета – углы, образованные касательной к кривой АВ в точке М(х,у) с осями Ох и Оу соответственно.