1. _{Определение} ф-ии нескольких переменных.

Пусть задано множ. D упорядоченных пар чисел (x;y)Є D сопоставляет одно число z Є R₁ называется функцией нескольких переменных, определённых на множестве D со знач. R₁ и записывается в виде z=f(x;y) или f : D→ R. При этом x и y наз. аргументами, а z — функцией.

Предел ф-ии.

A=lim f(x;y) или A= lim f(M)

x→x₀ M→M₀

y→y₀

Непрер. ф-ии.

Ф-я z=f(x;y)(или f(M)) наз. непрер. в т. M₀(x₀;y₀), если она: а) определена в этой т. и некот. её окрестности. б) имеет предел

lim f(M)

M→M₀

в)этот предел равен знач. ф-ии z в т. M₀

2. Частные произв. И диф. Ф-ии 2-ух перем.

произв:

диф: dz=A∙Δx+B∙Δy

выражения A∙Δx+B∙Δy наз. частными диф.

3. Производн. сложных и неявно задан. ф-ий.

Если z=f(x;y)— диф-ма в т. M(x;y) Є D ф-я и x=x(t) b y=y(t)— диф-мые ф-ии независимой переменной t, то произв. сложной ф-ии z(t)=f(x(t);y(t)) вычисляются по формуле

3. Понятие диф-сти ф-ии 2-ух переменных.

Пусть ф-я z=f(x;y) опред. в некот. окрестности т. M(x;y). Составим полное приращение ф-ии в т. M:

ф-я z=f(x;y) наз. диф-емой в т. M(x;y), если её полное приращение в этой т. можно представить в виде

3. Произв. по направлению.

Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

3. Поверхности уровня. Уравнение касательной плоскости к поверхности

Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, имеет П. функцию V, то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненным системою бесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну и ту же величину. Такие поверхности называются поверхностями уровня;

уравнение касательной плоскости для неявно заданной ф-ции имеет вид:

уравнение касательной плоскости для явно заданной ф-ции имеет вид:

7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть ф-я z=f(x;y) диф-ма в т. (x₀;y₀) некот. обл. D Є R². Рассечём пов. S, изображающую ф-ю z, плоскостями x=x₀ и y=y₀. Плоскость x=x₀ пересекает пов. S по некот. линии z₀(y), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной ф-ии z=f(x;y) вместо x числа x₀. Точка M₀(x₀;y₀;f(x₀;y₀)) принадлежит кривой z₀(y). В силу диф-сти функции z в т. M₀ ф-я z₀(y) также является диф-ой а т. y=y₀. Следовательно, в этой т. в плоскости x=x₀ к кривой z₀ может быть проведена касательная l_1­. Проводя анологич. рассуждения для сечения y=y₀ построим касательную l₂ к кривой z₀(x) в т. x=x₀. Прямые l₁ и l₂ определяют плоскость α, которая наз. касательной плоскостью к пов. S в т. M₀.

Прямая, проходящая через т. M₀ и перпендикулярна касательной плоскости, построенной в этой т., наз. её нормалью.

7. Экстремумы ф-ций двух переменных

Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. Точка M₀(x₀;y₀) - внутренняя точка области D.

Если в D присутствует такая окрестность UM₀ точки M₀, что для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального максимума. А само значение z(M₀) - локальным максимумом.

А если же для всех точек

то точка M₀ называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M₀) - локальным минимумом.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y).

9. Нахождение наиб. и наим. знач. на компакте.

Пусть ф-я z=f(x;y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых т. D своего наиб. M и наименьшего m значений. Эти значения достигаются ф-ей в т., расположенных внутри обл. D, или в т., лежащих на границе области. Правило нахождения наиб. и наим. значений диф-ой в обл. D ф-ии z=f(x;y) сост. в след.:

1. найти все критические т. ф-ии, принадлеж. D, и вычислить знач ф-ии в них.

2. найти наиб. и наим. знач. ф-ии z=f(x;y) на границах обл.

3. сравнить все найденные знач. ф-ии и выбрать из них наиб. M и наим. m

9. ОИ как предел интегральных сумм.

Рассмотрим ф.y=f(x),зависящую от х∈[a,b].Разобьём отрезок на n-частей.Выберем на каждом отрезке произвольную точку ξ_i.Значение ф.в точке (ξ_i)∙Δx_i,где Δx_i -длина каждого отрезка x_i-

x_i-1Составим интегральную сумму δ_n. Обозначим за диаметр разбиения d=max, Δx_i,i=1,…,n.Если предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора промежуточной точки ξ_i при d-->0.При этом предел конечен,то этот предел является ОПРЕДЕЛЁННЫМ ИНТЕГРАЛОМ.

Геом. смысл.

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная ф-я y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком ф-ий y=f(x), снизу— осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b , наз. криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. Для этого отрезок [a;b] точками a=x₀, x₁,…, b=x_n(x₀<x₁<…<x_n) разобьём на n частичных отрезков [x_0­;x₁], [x₁;x₂],…, [x_n-1;x_n]. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i](i=1,2,…, n) возьмём произвольную точку c_i и вычислим значение ф-ии в ней. Умножим значение ф-ии f(c_i) на длину Δx_i=x_i-x_i-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение f(c_i)∙Δx_i равно площади прямоугольника с основанием Δx_i и высотой f(c_i). Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближ. равна площади S криволинейной трапеции. Итак, ОИ от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и сост. геом. смысл.

9. Основные св-ва интегралов.

а) Если c — постоянное число и ф-я f(x) интегрируема на [a;b], то с можно выносить из-поз знака ОИ.

б) Интеграл суммы = сумме интегралов.

в)

г) если ф-я f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то интеграл по всему отрезку = сумме интегралов по частям этого отрезка. (аддитивность ОИ)