- •Методы математического моделирования процессов в машиностроении
- •Глава 1. Цели и задачи математического моделирования процессов и систем 3
- •Глава 2. Теоретические Математические модели аналитического типа 8
- •Глава 3. Эмпирические математические модели 27
- •Глава 4. Математические модели теории принятия решений 40
- •2 Рубежный контроль введение
- •Глава 1. Цели и задачи математического моделирования процессов и систем
- •1.1. Понятие «математическая модель»
- •1.2. Классификация математических моделей
- •Контрольные вопросы к лекции 1
- •1.3. Геометрическое представление математических моделей
- •Глава 2. Теоретические Математические модели аналитического типа
- •2.1. Построение математической модели сверления лазером
- •Контрольные вопросы к лекции 2
- •2 Лекция 3.2. Линейные математические модели
- •2.3. Исследование простейшей математической модели работы газотурбинного двигателя
- •2.4. Нелинейные детерминированные модели
- •2.4.1. Полиномиальные модели
- •2.4.2.Позиномные модели
- •Контрольные вопросы к лекции 3
- •2 Лекция 4.4.3. Математическая модель кратчайшего пути
- •0 4PR– 4r2илиp r.
- •Контрольные вопросы к лекции 4
- •2 Лекция 5.5. Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений
- •2.6. Модели, заданные в виде уравнений в частных производных
- •Контрольные вопросы к лекции 5
- •2.7. Стохастические модели
- •Контрольные вопросы к лекции 6
- •Г Лекция 7лава 3. Эмпирические математические модели
- •3.1 Идентификация эмпирических математических моделей
- •3.2. Использование метода наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к лекции 7
- •3 Лекция 8.3. Статистические методы проверки адекватности математических моделей
- •Контрольные вопросы к лекции 8
- •3 Лекция 9.4. Идентификация параметров математической модели силы резания токарной операции
- •Контрольные вопросы к лекции 9
- •3 Лекция 10.5. Выбор оптимальной эмпирической модели
- •3.6. Использование критерия Фишера для проверки значимости высших степеней математической модели
- •Контрольные вопросы к лекции 10
- •Г Лекция 11лава 4.Математические модели теории принятия решений
- •4.1. Общие сведения о теории принятия решений
- •4.2. Общая математическая модель формирования оптимальных решений
- •4.3. Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения (Задача о баке)
- •Контрольные вопросы к лекции 11
- •4 Лекция 12.4. Многокритериальные задачи принятия решений
- •4.5. Построение решений, оптимальных по Парето (Двухкритериальная задача о баке)
- •Контрольные вопросы к лекции 12
2.4. Нелинейные детерминированные модели
Нелинейные детерминированные модели обладают бóльшей точностью и гибкостью. Они могут быть заданы в виде нелинейной функции одной или нескольких переменных или в виде дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Наиболее распространенными среди нелинейных моделей при описании ДУ и ДЛА являются:
полиномиальные функции;
позиномные функции;
тригонометрические функции;
экспоненциальные функции;
обыкновенные дифференциальные уравнения;
дифференциальные уравнения в частных производных др.
Нелинейные модели могут быть записаны в виде функционала, зависящего от управляющих переменных хи некоторых функцийf(x) всех или части этих переменных:W=W(x,f(x)). При этом функцииf(x) могут представлять собой функционалы, зависящие от промежуточных функцийf*(x) и т.д. На класс функцийf(x),f*(x) не накладывается никаких ограничений, однако предполагается возможность однозначного перехода от вектора управляющих параметровхк общей характеристике моделиW.
Область определения модели может быть ограничена с помощью равенств или неравенств:
xi = ci , i = 1,…, m;
f(x) = cj , j = 1,…, l;
xi min xi xi max , i = 1,…, k;
fj(x)cj , j = 1,…,n.
По существу под определение нелинейной модели подпадает любое математическое описание ДУ и ДЛА, не укладывающееся в рамки более простых моделей.
2.4.1. Полиномиальные модели
Полиномиальные модели основаны на идее приближенного представления модели конечным числом членов ряда Тейлора:
.
Наиболее простой из моделей этого класса является квадратичная модель:
при ограничениях
Квадратичные модели широко используются для представления экспериментальных данных при идентификации ДЛА и их элементов.
Квадратичные модели используются для аппроксимации отдельных участков поверхности отклика, когда линейное приближение оказывается недостаточным, например, в окрестности экстремума, и лежит в основе нелинейных методов оптимизации. Если квадратичная модель также оказывается недостаточно точной, то используются полиномиальные модели более высоких порядков.
Исследование полиномиальных моделей частично можно осуществить аналитическими методами. Например, аналитически можно определить степень влияния отдельных переменных на характеристики модели.
2.4.2.Позиномные модели
Позиномные модели основаны на представлении модели в виде суммы произведений степенных функций:
, (2.14)
где xi– управляющие переменные,ij– произвольные положительные числа,cj0 – обеспечивает выпуклость модели.
Величины ij,сjрассчитываются на основе статистических данных, отражающих опыт производства соответствующих узлов и систем.
Позиномные модели можно использовать для описания стоимости сложных систем.
К позиномным моделям сводится задача выбора геометрических характеристик ряда технических устройств, в том числе элементов ДЛА, например, электромагнитов, силовых ферм и т.д.
Исследование позиномных моделей сложнее, чем моделей полиномиального типа, и осуществляется в основном численными методами. Однако, при m= 1 иx1> 0,x2> 0,…,xk > 0 в формуле (2.4) существует способ приведения позинома к линейному виду.
В этом частном случае модель (2.4) будет выглядеть в следующем виде:
.
Прологарифмируем обе части этого равенства, получим
. (2.15)
Введем обозначения логарифмов переменных W,x1,x2,…,xkи константыс:
Выражение (2.5) примет линейный вид
Y(X1,X2,…,Xk) =C+1x1 + 2x2 + … +kxk.
Для поиска оптимальных решений на основе позиномных моделей разработан специальный аппарат – так называемое геометрическое программирование.