- •Методы математического моделирования процессов в машиностроении
- •Глава 1. Цели и задачи математического моделирования процессов и систем 3
- •Глава 2. Теоретические Математические модели аналитического типа 8
- •Глава 3. Эмпирические математические модели 27
- •Глава 4. Математические модели теории принятия решений 40
- •2 Рубежный контроль введение
- •Глава 1. Цели и задачи математического моделирования процессов и систем
- •1.1. Понятие «математическая модель»
- •1.2. Классификация математических моделей
- •Контрольные вопросы к лекции 1
- •1.3. Геометрическое представление математических моделей
- •Глава 2. Теоретические Математические модели аналитического типа
- •2.1. Построение математической модели сверления лазером
- •Контрольные вопросы к лекции 2
- •2 Лекция 3.2. Линейные математические модели
- •2.3. Исследование простейшей математической модели работы газотурбинного двигателя
- •2.4. Нелинейные детерминированные модели
- •2.4.1. Полиномиальные модели
- •2.4.2.Позиномные модели
- •Контрольные вопросы к лекции 3
- •2 Лекция 4.4.3. Математическая модель кратчайшего пути
- •0 4PR– 4r2илиp r.
- •Контрольные вопросы к лекции 4
- •2 Лекция 5.5. Математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений
- •2.6. Модели, заданные в виде уравнений в частных производных
- •Контрольные вопросы к лекции 5
- •2.7. Стохастические модели
- •Контрольные вопросы к лекции 6
- •Г Лекция 7лава 3. Эмпирические математические модели
- •3.1 Идентификация эмпирических математических моделей
- •3.2. Использование метода наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к лекции 7
- •3 Лекция 8.3. Статистические методы проверки адекватности математических моделей
- •Контрольные вопросы к лекции 8
- •3 Лекция 9.4. Идентификация параметров математической модели силы резания токарной операции
- •Контрольные вопросы к лекции 9
- •3 Лекция 10.5. Выбор оптимальной эмпирической модели
- •3.6. Использование критерия Фишера для проверки значимости высших степеней математической модели
- •Контрольные вопросы к лекции 10
- •Г Лекция 11лава 4.Математические модели теории принятия решений
- •4.1. Общие сведения о теории принятия решений
- •4.2. Общая математическая модель формирования оптимальных решений
- •4.3. Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения (Задача о баке)
- •Контрольные вопросы к лекции 11
- •4 Лекция 12.4. Многокритериальные задачи принятия решений
- •4.5. Построение решений, оптимальных по Парето (Двухкритериальная задача о баке)
- •Контрольные вопросы к лекции 12
4.3. Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения (Задача о баке)
Пусть требуется выбрать геометрические размеры цилиндрического бака объемом Vиз условияминимального расхода материалана его изготовление.
Для построения математической модели введем в рассмотрение вектор проектных решений Х = (r,h), где 2r,h– диаметр и высота бака (Рис. 4.3).
Если предположить, что бак изготавливается сваркой из трех деталей, то расход материала при произвольном векторе решенийХбудет равен площади поверхности бака:
. (4.5)
Согласно условиям задачи выражение (4.5) является целевой функцией (критерий оптимальности проектных решений).
Условие того, что бак должен иметь объем заданного значения V, представим в виде:
pr2h = V. (4.6)
На компоненты вектора решений Xнеобходимо наложить дополнительные условия:
R > 0,h> 0. (4.7)
Выражения (4.5) – (4.7) описывают нелинейную однокритериальную модель формирования оптимальных решений, приn = 2,m = 1.
Пусть бак должен иметь минимальную трудоемкость его изготовления. Если считать трудоемкости изготовления крышки, дна и боковой стенки достаточно малыми величинами, то затраты времени на изготовление бака будут пропорциональны длине свариваемых швов:
, (4.8)
где с– затраты времени на сварку единицы длины.
Выражения (4.5), (4.8), (4.6), (4.7) описывают двухкритериальную нелинейную модельформирования оптимальных решений.
При построении математической модели в этой задаче принятия решений были использованы известные геометрические закономерности.
Аналитическое решение задачи ПР возможно, если соответствующая математическая модель включает в себя ограничения типа равенств, то есть имеет вид:
Такие задачи решаются обычно классическими методами условной оптимизации, которые предусматривают построение функции Лагранжа вида
(4.9)
где l1,l2, … ,lm– неопределенные множители Лагранжа.
Точки экстремума этой функции определяются из решения системы уравнений вида
(4.10)
Решая эту систему, получим решение вида
(4.11)
Используем этот метод для решения однокритериальной задачи (4.8), (4.6) (без учета (4.5), (4.7)).
Функция Лагранжа имеет вид:
.
Система уравнений (4.17) относительно переменных r,h,l:
Имеем систему алгебраических уравнений, решая которую, получим значения неизвестных r,h(lнаходить необязательно):
;.
Таким образом, оптимальные размеры бака, найденные с помощью аналитического метода условной оптимизации, не зависят от затрат времени сна сварку единицы длины, но зависят от требуемого объема бакаV. Требование (4.8) при этих значенияхrиhвыполняется, то есть трудоемкость будет минимальной.
Недостатками этого метода являются:
Не учитываются в явном виде условия неотрицательности (4.7).
Система уравнений (4.10) позволяет получить решение в форме (4.11) только для простых функций (4.5), (4.6).
Контрольные вопросы к лекции 11
Что включает в себя простейшая схема принятия решений?
Что такое цель?
Что такое критерий оптимальности?
Что такое однокритериальная ЗПР?
Что такое многокритериальная ЗПР?
Возможно ли получение единственного оптимального решения в многокритериальных задачах?
Напишите общий вид математической модели формирования оптимальных решений.
Сформулируйте задачу принятия решений.
Запишите критерий минимального расхода материала для задачи о баке.
Запишите критерий минимальной трудоемкости для задачи о баке.
Запишите общий вид функции Лагранжа.
Перечислите недостатки аналитического метода условной оптимизации.