Laby_Mat_metody

61

лишек) или увеличить (повысить минимально необходимое требование) ресурс, сохранив при этом оптимальное решение. Рассмотрим анализ дефицитных ресурсов, так как анализ недефицитных ресурсов был рассмотрен выше. Анализируя отчет по результатам, мы установили, что существуют причины (ограничения), не позволяющие мебельному комбинату выпускать большее, чем в оптимальном решении, количество полок и получать более высокую прибыль. В рассматриваемой задаче такими ограничениями являются дефицитные ресурсы "Емкость сушилки" и "Емкость склада готовой продукции". Поскольку знак ограничений этих запасов имеет вид ≤, то возникает вопрос, на сколько максимально должна возрасти емкость этих помещений, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ на этот вопрос показан в графе "Допустимое Увеличение". Емкость сушилки имеет смысл увеличить самое большее на 70 полок, а емкость склада готовой продукции — на 80 полок. Это приведет к новым оптимальным решениям, увеличивающим прибыль по сравнению с (6.19). Дальнейшее увеличение емкостей сушилки и склада сверх указанных пределов не будет больше улучшать решение, т.к. уже другие ресурсы станут связывающими.

3. Ценность дополнительной единицы i -го ресурса (теневая цена) рассчитывается только для дефицитных ресурсов. После того как мы установили, что увеличение емкостей сушилки и склада приведет к новым планам выпуска, обеспечивающим более высокую прибыль, возникает следующий вопрос. Что выгоднее в первую очередь расширять: сушилку или склад? Ответ на этот вопрос дает графа "Теневая цена". Для емкости сушилки она равна 30 руб./шт., а для склада — 60 руб./шт. (см. рис.7.3), то есть каждая полка, которую дополнительно можно будет поместить в сушилку, увеличит прибыль на 30 руб., а каждая полка, которую дополнительно можно будет поместить на склад, увеличит прибыль на 60 руб. Отсюда вывод: в первую очередь выгодно увеличивать емкость склада готовой продукции.

62

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8

Анализ устойчивости двойственных оценок

8.1 Цель работы

Приобретение навыков проведения анализа устойчивости двойственных оце-

нок.

8.2 Порядок выполнения работы

Решите задачу, соответствующую номеру Вашего варианта. Решите ту же задачу с использованием Microsoft Excel и продемонстрируйте решение преподавателю. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

•титульный лист;

•решение задачи.

8.2.1Образец оформления решения

Задача 0. Для изготовления четырех видов продукции предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Требуется а) определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный до-

ход от ее реализации; б) сформулировать для данной задачи двойственную и определить ее опти-

мальное решение; в) найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к

изменениям ресурсов каждого типа;

63

г) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, определяемой оптимальным планом ее производства при уменьшении количества ресурса типа I на 60 ед. и увеличении ресурсов II и III типов соответственно на 120 и 160 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

Решение. а) Предположим, что изделия видов A , B , C и D будут произведены соответствено в количествах x1 , x2 , x3 и x4 . Для определения оптимального плана производства продукции следует найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции

xj ≥ 0, j = 1, 4.

Взадаче (8.1)-(8.2) целевую функцию умножим на (−1) и запишем нетривиальные ограничения в виде уравнений, введя дополнительные переменные x5 ,1 2 4

x6 , x7 :

xj ≥ 0, (j = 1, 7).

Решение задачи (8.3) симплекс-методом приведено в табл. 8.2-8.4.

Таблица 8.2

64

Таблица 8.3

Из табл. 8.4 видно, что оптимальным планом производства изделий является такой план, при котором изготовляется 95 изделий вида A и 210 изделий вида B . При данном плане производства общая стоимость изделий равна 2115 руб.

б) Припишем единице каждого из используемых ресурсов двойственную оценку, соответсвтенно равную z1 , z2 , z3 . Тогда двойственная задача по отношению к задаче (8.1)-(8.2) имеет вид

fb= 180z1 + 210z2 + 800z3 → min;

ственных задач. Решение исходной задачи дает оптимальный план производства изделий A , B , C , и D , а решение двойственной — оптимальную систему двойственных оценок ресурсов, используемых для производства этих изделий.

Из табл. 8.4 видно, что оптимальным планом двойственной задачи является

в) определим теперь интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям ресурсов каждого вида. Для этого найдем произведение

65

и определим, при каких значениях ∆b1 , ∆b2 , ∆b3 компоненты вектора-столбца в правой части равенства (8.5) неотрицательны.

Примечание. Матрица

24

записана непосредственно на основании данных табл. 8.4.

Условие неотрицательности компонент указанного выше вектора приводит

если количество ресурсов I типа будет увеличено или уменьшено в пределах 85 ед., то, несмотря на это, оптимальным планом двойственной задачи (8.4) остается z = (0; 3/2; 9/4) .

Далее, если ∆b1 = 0 и ∆b3 = 0 , то −170 ≤ ∆b2 ≤ 190 , а если ∆b1 = 0 и ∆b2 = 0 , то −380 ≤ ∆b3 ≤ 340 . Таким образом, если количество одного из типов ресурсов II или III принадлежит соответственно промежутку 40 ≤ b2 ≤ 400 или 420 ≤ b3 ≤ 1140 , а количество остальных ресурсов останется первоначальным, то двойственная задача (8.4) имеет один и тот же оптимальный план z = (0; 3/2; 9/4) .

г) В данной задаче одновременно изменяется количество ресурсов всех трех типов. При этом количество ресурса I типа уменьшается на 60 ед. ( ∆b1 = −60 ), а количество ресурсов II и III типов соответственно увеличиваются на 120 и 60 ед. ( ∆b2 = 120 и ∆b3 = 160 ). Следовательно, чтобы выяснить, остается ли z = (0; 3/2; 9/4) оптимальным планом двойственной задачи (8.4) при указанном изменении количества ресурсов или нет, нужно проверить, удовлетворяют данные значения ∆b1 , ∆b2 и ∆b3 системе неравенств (8.6) или нет. Для этого подставим в неравенства (8.6) вместо ∆b1 , ∆b2 и ∆b3 их значения:

95 − 12 · 120 + 14 · 160 = 75 ≥ 0,

85 − 60 + 12 · 120 − 14 · 160 = 45 ≥ 0, 210 + 120 ≥ 0.

Следовательно, несмотря на изменение объемов ресурсов в указанных размерах, оптимальным планом двойственной задачи останется z = (0; 3/2; 9/4) . Данное заключение позволяет определить приращение максимального значения

66

функции (8.1) при указанных изменениях количества ресурсов. В этом случае

∆fmax = z1∆b1 + z2∆b2 + z3∆b3 =

= 0 · (−60) + 32 · 120 + 94 · 160 = 540.

Это означает, что уменьшение количества ресурсов I типа на 60 ед. и увеличение количества ресурсов II и III типов соответственно на 120 и 160 ед. приведет к возможности построения такого плана производства продукции, реализация которого обеспечит выпуск изделий на 540 руб. больше, чем при плане производства продукции, обусловленном первоначальным количеством ресурсов. Уменьшение количества ресурсов I типа на 60 ед. не повлияет на изменение максимального значения функции, в то время как увеличение количества ресурсов II и III типов на 120 и 160 ед. приведет к увеличению максимального значения функции соответственно на z2∆b2 = 32 · 120 = 60 и z3∆b3 = 94 · 160 = 360 .

8.3Варианты задач к лабораторной работе

1.Для изготовления четырех видов продукции A , B , C , и D предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в таблице.

Требуется а) определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный до-

ход от ее реализации; б) сформулировать для данной задачи двойственную и определить ее опти-

мальное решение; в) найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к

изменениям ресурсов каждого типа; г) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, определя-

емой оптимальным планом ее производства при уменьшении количества ресурса типа I на 10 ед. и увеличении ресурсов II и III типов соответственно на 60 и 30 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при

67

изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

2. Для изготовления трех видов продукции A , B и C предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в таблице.

Требуется а) определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный до-

ход от ее реализации; б) сформулировать для данной задачи двойственную и определить ее опти-

мальное решение; в) найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к

изменениям ресурсов каждого типа; г) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, определя-

емой оптимальным планом ее производства при увеличении количества ресурсов типов I и II соответственно на 70 и 200 ед., и уменьшении ресурса III типа на 40 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

3. Для изготовления трех видов продукции A , B и C предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в таблице.

68

Требуется а) определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный до-

ход от ее реализации; б) сформулировать для данной задачи двойственную и определить ее опти-

мальное решение; в) найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к

изменениям ресурсов каждого типа; г) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, определя-

емой оптимальным планом ее производства при уменьшении количества ресурса типа I на 150 ед. и увеличении ресурсов II и III типов соответственно на 20 и 70 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

4. Для изготовления трех видов продукции A , B и C предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в таблице.

Требуется а) определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный до-

ход от ее реализации; б) сформулировать для данной задачи двойственную и определить ее опти-

мальное решение; в) найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к

изменениям ресурсов каждого типа; г) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, определя-

емой оптимальным планом ее производства при уменьшении количества ресурса типа I на 150 ед. и увеличении ресурсов II и III типов соответственно на 20 и 70 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

5. Для изготовления трех видов продукции A , B и C предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу

69

продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в таблице.

Требуется а) определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный до-

ход от ее реализации; б) сформулировать для данной задачи двойственную и определить ее опти-

мальное решение; в) найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к

изменениям ресурсов каждого типа; г) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, определя-

емой оптимальным планом ее производства при уменьшении количества ресурса типа I на 40 ед. и увеличении ресурсов II и III типов соответственно на 80 и 160 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

6. Для изготовления трех видов продукции A , B и C предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в таблице.

Требуется а) определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный до-

ход от ее реализации; б) сформулировать для данной задачи двойственную и определить ее опти-

мальное решение;

70

в) найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям ресурсов каждого типа;

г) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, определяемой оптимальным планом ее производства при уменьшении количества ресурса типа I на 10 ед. и увеличении ресурсов II и III типов соответственно на 20 и 30 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

7. Для изготовления четырех видов продукции A , B , C , и D предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в таблице.

Требуется а) определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный до-

ход от ее реализации; б) сформулировать для данной задачи двойственную и определить ее опти-

мальное решение; в) найти интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к

изменениям ресурсов каждого типа; г) выявить изменение общей стоимости изготовляемой продукции, опреде-

ляемой оптимальным планом ее производства при увеличении количества ресурса типа I на 50 ед. и уменьшении ресурсов II и III типов соответственно на 20 и 50 ед. Провести анализ возможного изменения общей стоимости продукции как при изменении объемов каждого из ресурсов по отдельности, так и при их одновременном изменении в указанных размерах.

8. Для изготовления трех видов продукции A , B и C предприятие использует три типа ресурсов. Нормы расхода ресурсов каждого типа на единицу продукции, их наличие в распоряжении на предприятии, а также цена единицы продукции приведены в таблице.