3. Исследование модели

Общий вид интеграла, решение которого, будет рассмотрено:

Заданные значения:

, ,,

Подставив заданные значения, получаем:

Т.е. получаем интегральное представление числа Пи.

3.1 Программа для вычисления интеграла

Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab:

1. function y=int_trapezoidal(n,a,b)

3. if (mod(n,2)~=1)

4. h=(b-a)/n;

5. x=a:h:b;

6. s=0;

8. for i=1:n/2

9. s=s+f(x(2*i-1))+2*f(x(2*i))+f(x(2*i+1));

10. end

12. y=s*h/2;

13. erf=3.051757810013100e-005;

15. disp ('Количество элементарных отрезков: '), disp(n)

16. disp ('Результат: '), disp (y)

17. disp ('Погрешность: '), disp (erf)

18. else disp ('Введите четное число!')

19. end

20. end

21. function y=f(x)

22. y=4/(1+x^2);

23. end

Цикл if отвечает за то, что если пользователь введет число n элементарных отрезков не кратных двум, программа выведет на экран сообщение:

Введите четное число!

График фигуры y=f(x)

Цикл for – это основная составляющая программы для данного метода. Здесь суммируется площади трапеций, на которые разбивается наша площадь под кривой.

Погрешность erf3.0517e-005 была получена как разность результатов с n = 64 и n = 128 элементарными отрезками.

Таблица полученных результатов

n, коли-во эл. отрезков	Значение интеграла
2	3.100000000000000
4	3.131176470588235
8	3.138988494491089
16	3.140941612041389
32	3.141429893174975
64	3.141551963485653
128	3.141582481063753

Даже при n = 128 ответ является точным лишь до пятого знака после запятой (=3,141592653589793 – точное значение числа пи для 15 знаков после запятой).

Только при n = 700000 значение числа совпадает с точным значением до 13 знака после запятой.

3.2 Определение значения интеграла с помощью метода прямоугольников. Сравнение результатов

Программа для вычисления значения интеграла методом прямоугольников в среде пакета Matlab:

1. function s = int_rectangle(n,a,b)

3. h = (b-a)/n;

4. s = 0;

5. x = a:h:b;

6. for i = 1:n

7. s = s+f(x(i))*h;

8. end

10. function y = f(x)

11. y = 4/(1+x^2);

12. end

13. end

Таблица полученных результатов

n, коли-во эл. отрезков	Значение интеграла
2	3.600000000000000
4	3.381176470588235
8	3.263988494491089
16	3.203441612041389
32	3.172679893174975
64	3.157176963485654
128	3.149394981063753

Очевидно, что метод прямоугольников значительно уступает точностью методу трапеций с одинаковым количеством элементарных отрезков n.

_{Погрешность данного метода составляет 7.781982421901e-003, что на два порядка больше, чем погрешность метода трапеций.}

Использование для вычисления одновременно двух методов (трапеций и прямоугольников) позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоих методов.

Следовательно, при понижении численного значения точности, вычислений результаты расчетов по обеим методам стремятся друг к другу и оба к точному результату.

4. Заключение

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться методом прямоугольников. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но методу Симпсона он сильно уступает, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими.