МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ВОСТОЧНОУКРАИНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени ВЛАДИМИРА ДАЛЯ

Фесенко Т.Н.

Чалая Е.Ю.

Курс лекций

ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ

(для студентов специальности «Прикладная математика»,

«Информатика», «Системный анализ»,

«Компьютерные системы и сети»)

У Т В Е Р Ж Д Е Н О

на заседании кафедры

прикладной математики.

Протокол № 7 от 13. 02. 13.

Луганск 2013

УДК 62-501. 7

Курс лекций по дискретной математике (для студентов направления «Прикладная математика», «Информатика», «Системный анализ», «Компьютерные системы и сети») / Сост.: Т.Н. Фесенко, Е.Ю. Чалая, Луганск: издательство ВНУ им. В. Даля, 2013. - 103 с.

Приведены теоретические материалы, необходимые для изучения дисциплины «Дискретная математика». Рассмотрены основные разделы 1 и 2 семестров: элементы теории множеств, элементы математической логики, булевы функции., комбинаторика, теория графов, теория конечных автоматов. В данных разделах указаны основные проблемы (логические парадоксы, некоторые парадоксы теории множеств, проблема отыскания тавтологий логики предикатов и т. д.), построена формально аксиоматика логики высказываний, вводится язык узкого исчисления предикатов. Рассмотрены вопросы, связанные с функционально замкнутыми классами, а также свойства булевых функций. Приведены задачи для самостоятельной работы студентов.

Составители: Фесенко Т.Н., доцент.

Чалая Е. Ю., ассистент.

Отв. за выпуск Кочевский А.А., доцент.

Рецензент Щолоков В.С., доцент.

Глава 1. Множества

§1. Основные понятия и определения теории множеств.

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики. Рассматривая любую математическую задачу, мы постоянно сталкиваемся с некоторыми множествами. Это могут быть числовые множества, множества каких-то геометрических объектов, символов, букв и т. д. Понятию «множество» невозможно дать строгое определение. Для того чтобы определить какое-либо понятие, необходимо указать, частным случаем какого более широкого понятия оно является. Для понятия множества это выполнить невозможно, потому что оно само по себе является наиболее широким понятием и ни в каких других не содержится. Иногда множество определяют как совокупность элементов одной природы. Но слова «совокупность», «семейство», «класс» являются словами-синонимами, поэтому их нельзя использовать для строгого определения понятия множества. Но этим определением можно пользоваться, как интуитивным. Действительно, когда мы говорим о множестве, то объединяем некоторые предметы по некоторому признаку в одно целое. Основатель теории множеств Георг Кантор подчеркнул это следующим словами: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Часто в математике или в реальной жизни приходится говорить о вещах, объединённых общим признаком. Так, можно говорить о множестве всех стульев в данной комнате, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окружности и т.д.

Множества принято обозначать заглавными буквами: . Элементы множеств – строчными буквами:. В теории множеств рассматривается символ принадлежности элемента некоторому множеству. Если некоторый элементпринадлежит множеству, то записывают:. Еслине принадлежит множеству, то пишут:.

Определение 1: Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нём бесконечное число элементов, то – бесконечным.

Возможны различные способы задания множеств. Можно, например, задать множество, предъявляя список элементов, входящих во множество. Множество студентов данной группы можно задать списком в журнале академической группы. Но этот способ применим только к конечным множествам, да и то далеко не ко всем. Если множество нельзя задать при помощи списка (бесконечное множество), то его задают путём указания некоторого характеристического свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они. Например, если говорится о множестве натуральных чисел , тогда ясно, что число, а числаили. Перечисляя элементы множества, их записывают в фигурных скобках, например:,.

Отметим, что если множество задано своим характеристическим свойством, то не всегда известно, существует хотя бы один элемент с таким свойством. Поэтому приходится рассматривать множество, не имеющее ни одного элемента. Это множество называют пустым и обозначают: . Пустое множество единственно. Приведём пример пустого множества. Множество, состоящее из всех четырёхугольников, все углы которых прямые, и диагонали имеют различную длину, пусто, так как диагонали прямоугольников равны. Пустым также будет множество всех треугольников, длины сторон которых равны 1, 2 и 8 сантиметров.

В математике важную роль играют множества, составленные из геометрических фигур, алгебраических выражений, функций и т.д. Даже школьная математика имеет дело с множествами на каждом шагу. Особенно часто встречаются множества, составленные из чисел: а) множество натуральных чисел ; б) множество всех целых чисел; в) множество всех рациональных чисел; г) множество действительных чисел; д) множество комплексных чисел.

Определение 2: Множества иназываютсяравными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Понятие подмножества возникает всякий раз, когда приходится иметь дело с частью другого, более широкого множества.

Определение 3: Пусть и– два множества. Множествоназываетсяподмножеством множества , если каждый элемент множестваявляется элементом множества. В этом случае пишут:. Читают:включается во множество, илиявляется частью множества.

Замечание: Символ включения применяется для множеств, а символ принадлежностиприменяется для элементов.

Рассмотрим для примера следующие множества:

– множество всех четырёхугольников;

– множество всех трапеций;

– множество параллелограммов;

– множество всех прямоугольников;

– множество всех квадратов;

Видно, что .

Из школьного курса математики известна цепочка включений для числовых множеств: .

Очевидно, что всякое множество является частью самого себя: . Кроме того, пустое множество является подмножеством любого множества:. Эти два подмножества называютсянесобственными подмножествами. У любого произвольного множества всегда есть два несобственных подмножества (пустое и само множество). Если у данного множества есть другие подмножества, отличные от несобственных, то они называются собственными подмножествами.

Определение 4: Если и, тоназываетсясобственным подмножеством множества .

Замечание: Можно отметить, что . Действительно,– это множество, не содержащее ни одного элемента, а– это множество, содержащее один элемент -. Таким образом, эти два множества не равны.

Определение 5: Иногда при рассмотрении некоторых множеств оказывается, что все они являются подмножествами одного и того же фиксированного множества. Обычно его обозначают: и называютуниверсальным множеством. Таким образом, универсальное множество – это множество всех подмножеств в данной конкретной задаче.

Отношение включения обладает следующими свойствами:

1) (рефлексивность включения);

2) если и, то(транзитивность включения);

3) если и, то(антисимметричность включения).

Последнее свойство можно рассматривать, как признак равенства двух множеств. Для того, чтобы доказать равенство множеств и, нужно показать, что каждое из них является частью другого.