§2. Определение формулы и суперпозиции.

Пусть имеется счетное множество переменных, где. Рассмотрим конечную или счетную систему функций алгебры логики над этим множеством:

. (*)

Введем понятие формулы над этой системой функций.

Определение 1 (интуитивное):

1. Выражение называетсяформулой над рассматриваемой системой функций.

2. Выражение называетсяформулой над системой функций (*), если – формула или переменная из множества, а– произвольная функция из системы (*).

Сопоставим каждой формуле функцию алгебры логики.

Определение 2 (индуктивное):

1. Формуле , гдепоставим в соответствие функцию, где.

2. Формуле , где выраженияприявляются либо формулами, либо переменными из множества, а– функция системы (*), поставим в соответствие функцию. Здесь, если– переменная, тосовпадает с; если– формула, то– функция, сопоставленная этой формуле.

Полученные в соответствии с этим определением функции называются суперпозициями функций системы (*).

Очевидно, функция , является суперпозицией функций рассмотренной системы (*).

Будем говорить, что функция получена из функциипутем переименования переменных.

Например, функция получена из функциипутем переименования переменных.

Нетрудно видеть, что при переименовании переменных возможно появление новых переменных, исчезновение старых переменных, перестановка переменных местами и отождествление переменных.

Пусть формула построена из функций. Можно считать, что функциизависят от одних и тех же переменных.

Определение 3: Две формулы называются эквивалентными, если им сопоставлены равные функции.

Эквивалентные формулы будем соединять знаком равенства.

Например, формулы иреализуют каждая функцию. Поэтому. Аналогично:.

Формулы, в построении которых участвуют операции , в силу специфики записи этих формул, содержат скобки. Как и в элементарной алгебре, можно ввести сокращенную запись формулы, вводя порядок действий, считая, что вначале выполняется, далееи затем.

Ниже будет рассмотрена очень важная теорема, называемая теоремой о разложении. Для её формулировки примем следующие обозначения: ,. Легко заметить, что если, тоесли, то, где.

Теорема 1 (о разложении): Пусть – произвольная функция алгебры логики. Тогда ее можно представить в следующей форме:

. (**)

(Здесь мы употребляем сокращенную запись ).

Доказательство: Заметим сначала, что и чтотогда и только тогда, когда,,...,. Рассмотрим теперь произвольныеи пусть. Тогда в левой части соотношения получим. Правая часть в силу сделанного замечания также дает. Теорема доказана.

Большое практическое значение имеют следствия из этой теоремы.

Следствие 1: Если , то представление (**) принимает следующий вид:

.

Следствие 2: Если , то представление (**) превращается в следующее равенство:

.

Это разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (С.Д.Н.Ф.) функции . Оно определено для любой функциииз множества булевых функций, не равной константе.

Пример: Пусть функция задана таблицей:

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Рассмотрим наборы, на которых функция принимает значение:,,,. По этим наборам строим СДНФ для функции:

.