Перестановки.

1) Перестановки без повторений.

Определение 3: Пусть - конечное множество из элементов. Перестановками из элементов множества называются все размещения из элементов множества . Обозначается: .

Согласно определению:

.

Таким образом: .

2) Перестановки с повторениями.

Перестановки с повторениями используются в тех задачах, в которых речь идёт не о единичных объектах, а о видах, классах, сортах элементов. Понятно, что внутри каждого вида элементы повторяются.

Пусть имеются предметы различных типов:

.

Сколькими способами можно переставить местами элемент первого вида, элементов второго вида, ..., элементов последнего вида?

Число элементов в каждой перестановке равно: .

Перестановки элементов внутри вида не меняет перестановку. Она изменится только в случае межвидовых перестановок. Если бы все элементы были бы различными, то число всех перестановок равнялось бы . Но в силу того, что есть повторяющиеся объекты, получится меньшее число перестановок.

Теорема 3: Число различных перестановок с повторениями находится по формуле:

, где .

Замечание: В комбинаторике если не нужно засчитывать какое-то число способов, то на это число делят.

Поэтому в знаменателе дроби стоят числа (число перестановок элементов первого вида, которые не нужно засчитывать), (число перестановок элементов второго вида) и т. д. Перестановки элементов первого типа, второго типа и т.д. можно делать независимо друг от друга, поэтому по правилу умножения элементы данной перестановки можно переставлять способами. Значит, число различных перестановок с повторениями будет равно указанному числу.

Например, перестановки букв в словах мама, математика, анаграммы – есть перестановки с повторениями.

Сочетания.

1) Сочетания без повторений.

Определение 3: Сочетания из элементов по элементов ( ) – это расстановки, отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Обозначают: .

Теорема 4: Число сочетаний находится по следующей формуле:

.

Доказательство: .

Следствие: Выведенная формула совпадает с формулой для числа повторений из элементов одного типа и элементов второго типа:

.

Иными словами справедливо равенство: .

Примеры: Выбор делегации, число призеров в соревновании и т. д.

Замечание: , .

Существенное отличие числа сочетаний от числа соответствующих размещений состоит в том, что для размещений важен состав и порядок элементов в подмножествах, а для сочетаний важен только состав.

2) Сочетания с повторениями.

Пусть имеется предметы различных типов. Сколько комбинаций можно сделать из них, если не принимать во внимание порядок элементов? Эту задачу в общем виде можно решать точно так же, как задачу с пирожными.

Задача: В кондитерском магазине продаются пирожные 4 сортов: наполеон, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Зашифруем каждую покупку с помощью нулей и единиц. Напишем столько единиц, сколько куплено наполеонов, затем пишем 0, чтобы отделить пирожные одного типа от другого и т.д. Тогда каждой покупке будет соответствовать последовательность из семи единиц и трех нулей в различном порядке. Число всех таких покупок тогда будет равно:

.

Для числа сочетаний с повторениями существует формула:

.