Заключение.

«Наивная» теория множеств Г. Кантора, набросок которой мы сделали в этой главе, внутренне противоречива. Приведем пример логического противоречия в теории множеств.

Как правило, множества не являются своими собственными элементами. Но природа элементов множества произвольна, поэтому можно рассмотреть и такие множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов. Назовем такие множества неправильными, а остальные множества – правильными.

Образуем теперь множество , элементами которого являются все правильные множества. Попробуем выяснить, каким является само множество- правильным или неправильным. Если оно правильное, то оно входит в себя как один из элементов (мы ведь собрали во множествевсе правильные множества). Но тогда, по определению, оно является неправильным. Если же множествонеправильное, то по определению оно должно быть своим собственным элементом, а среди элементов множестванеправильных множеств нет!

Получилось неразрешимое логическое противоречие. Множества, которые кажутся вполне определенным, оказываются неопределенными.

Подобное логическое противоречие обнаружил сам Г. Кантор (см. парадокс Кантора в следующей главе).

Логические противоречия теории множеств вызвали кризис в математике XIX века. Попытки выхода из этого кризиса привели к глубоким исследованиям в основах математики, к созданию математической логики, аксиоматической теории множеств, свободной от противоречий.

Задачи для самостоятельной работы.

1) Доказать, что два множества равны тогда и только тогда, когда их пересечение и объединение совпадают.

2) Обозначим через множество всех дробей со знаменателем:

,,...,. Найтии.

3) Известно, что из 100 студентов в секциях спортклуба занималось: 28 человек - в гимнастической секции; 30 - в баскетбольной; 42 - в волейбольной; 10 - в гимнастической и волейбольной одновременно; 5 человек - в волейбольной и баскетбольной; во всех трех секциях занималось 3 человека. Найти:

а) сколько студентов занималось только в одной волейбольной секции;

б) сколько студентов не занималось ни в одной секции?

4) Пусть - множества. Доказать следующие тождества:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

5) Упростить выражения:

;

;

.

6) Доказать, что имеют место следующие равносильности или следствия:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

7) Пусть даны конечные множества: ,,,. Найти:

;

;

;

.

8) Какие из перечисленных ниже множеств являются бинарными отношениями, в частности функциями? Для каждой функции указать область определения и множество значений:

а) множество пар целых чисел, из которых первое равняется квадрату второго;

б) множество пар жителей Луганска, из которых первый - сын второго;

в) множество всех целых чисел, кратных 5;

г) множество всех пар, подобных между собой треугольников;

д) множество всех пар, образованных из противоположных между собой свободных векторов.

9) Какие из следующих отображений являются сюръекциями, биекциями?

а) отображение такое, что;

б) отображение отрезкав отрезоктакое, что;

в) отображение такое, что;

г) отображение такое, что;

д) отображение множества свободных векторов во множество действительных чисел .

10) Привести примеры взаимно однозначных отображений:

а) множества в себя;

б) отображения на множество положительных действительных чисел;

в) отрезка на отрезок ;

г) множества во множество.

11) Пусть ,. Сколько существует бинарных отношений из множестваво множество? Сколько существует функций из множестваво множество?

12) На множестве задано бинарное отношение. Найти:,,,,.

13) Какие из следующих бинарных отношений являются рефлексивными, симметричными, транзитивными?

а) отношение параллельности прямых на множестве прямых плоскости;

б) отношение перпендикулярности прямых на множестве всех прямых плоскости;

в) отношение делимости целых чисел;

г) отношение взаимной простоты натуральных чисел;

д) отношение дополнения подмножеств данного множества.

14) Доказать, что если отношения ирефлексивны, то рефлексивными будут также следующие отношения:

,,,.

15) Доказать, что если отношения исимметричны, то симметричными будут также следующие отношения:

,,,.

16) Доказать, что если отношения иантисимметричны, то антисимметричны также следующие отношения:и.

17) Построить бинарное отношение, обладающее следующими свойствами:

а) рефлексивное, симметричное, но не транзитивное;

б) рефлексивное, транзитивное, но не симметричное;

в) рефлексивное, антисимметричное, но не транзитивное;

г) антисимметричное, транзитивное, но не рефлексивное.

18) Доказать, что отношение на множествеявляется одновременно эквивалентностью и частичным порядком в том и только в том случаи, когда.

19) На множестве действительных чисел определим отношениеследующим образом:, где- множество рациональных чисел. Доказать, что- отношение эквивалентности.

20) Доказать, что множество действительных чисел из отрезка несчётно.

21) Доказать, что конечное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству.

22) Доказать, что любое множество попарно непересекающихся открытых интервалов на действительной числовой оси не более, чем счетно.

23) Доказать, что множество точек двух окружностей эквивалентны между собой.

24) Доказать, что объединение конечного или счетного числа множеств мощности имеет мощность, где– мощность континуум.

25) Доказать, что множество, всех монотонных функций на действительной прямой имеет мощность (континуум).

26) Доказать, что мощность множества всех функций, заданных на сегменте , имеет мощность, большую С.