§5. Отображения (функции). Алгебраические операции.

Пусть - некоторые непустые множества,- бинарное отношение, определённое на этих множествах:.

Определение 1: Бинарное отношение называетсяфункциональным отношением или функцией, если для каждого элемента найдётся единственный элемент, такой что. В этом случае пишут:. Множествоназываютобластью определения функции, а множество -множеством значений.

,

.

Функция на множествахиназывается такжеотображением из множества во множество. Обозначают:

- для множеств,

- для элементов.

Определение 2: Два отображения иназываютсяравными, если выполнено условие: .

Вообще, две функции будут равны между собой, если их области определения совпадают и для всякого элемента из области определения образы двух функций совпадают.

Рассмотрим некоторые свойства отображений.

Определение 3: Пусть . Отображениеназываетсяинъективным (или инъекцией), если при этом отображении различные элементы из множества имеют различные образы во множестве:

.

Определение 4: Пусть . Отображениеназываетсясюрьективным (или сюрьекцией), если множество значений совпадает с :

- сюръекция ,

т. е. каждый образ имеет единственный прообраз.

Определение 5: Отображение из множестваво множествоназываетсябиективным (или биекцией), если оно сюрьективно и инъективно.

Примеры:

1) отображение , такое, чтоне является биекцией (инъективность и сюрьективность не выполняются). Различные элементы из области определения (например, числа 3 и -3) имеют один и тот же образ. Каждый образ (например, 9) имеет не один, а два прообраза (3 и -3).

2) отображение , такое, что, получается из предыдущего удалением из множестваотрицательной части числовой прямой. Это отображение будет биекцией, т. к. инъективность и сюрьективность выполняются.

3) , такое, чтоявляется сюрьекцией, но не является инъекцией, следовательно, не биекция.

Замечание: Биективное отображение ещё называют взаимно однозначным отображением.

Среди отображений часто встречаются композиции нескольких отображений (сложная функция). Можно доказать, что композиция биективных отображений тоже является биекцией.

Рассмотрим понятие и свойства обратных отображений (обратных функций).

Определение 6: Пусть , паратогда и только тогда, когдаи. Параназываетсяобратной (или инверсной) паре . Очевидно, что пара.

Множество всех инверсных пар обозначим: . Имеем:. Из того, что- это функция, ещё не следует, чтотоже является функциональным отображением.

Пример: ,. Рассмотрим бинарное отношение:

. Из рисунка видно, что - это сюрьективное отображение (функция). Но если построить, то такое образование функцией не будет.

Если , то, а также область определения и множество значений меняются ролями.

Теорема 1: Пусть , тогда- является отображением тогда и только тогда, когда- биекция.

Следствие: Если - биекция, то обратное отображениетоже является биекцией, причём.

Определение 7: Пусть . Всякое отображениеназывается- арной (- местной)алгебраической операцией.

Отображение для элементов выглядит следующим образом: , причём образ отображения определяется однозначно.

Замечание: Если , то операция – унарная. Если, то – бинарная операция; если- тернарная. Если, то операция будет называться0 - арная.

Определение 8: 0 – арной алгебраической операцией во множестве называется выделение (фиксирование) какого-либо элемента с заранее заданными свойствами.

Определение 9: Пусть множество с бинарной операцией. Подмножествоназывается замкнутым относительно операции, если:. Другими словами, результат алгебраической операции должен принадлежать множеству.

Примеры:

1) , такое, чтоэто унарная алгебраическая операция, которая каждому действительному числу ставит в соответствие противоположное ему число.

2) , такое, чтоне является алгебраической операцией, т. к. не для всякого действительного числа существует образ (для 0). Но если удалить0 из множества действительных чисел и рассматривать отображение , где, тогда оно будет унарной алгебраической операцией нахождения обратного элемента.

3) , такое, чтоэто бинарная операция сложения натуральных чисел. Операция сложения будет алгебраической для любых числовых множеств. То же можно сказать и об операции умножения.

4) , такое, чтона множестве натуральных чисел не является алгебраической. Результат применения операции (образ) должен принадлежать множеству. Но если взять, например,, полученное числонатуральным не является. Значит, операция деления на множестве- не алгебраическая.

5) Рассмотрим - арную операцию:, при которой для элементов характерно отображение. Это операция нахождения наименьшего общего делителя натуральных чисел для числа.

6) На множестве зададим операцию умножения чисел и рассмотрим элемент. Этот элемент относительно операции умножения обладает свойством:. Фиксирование элемента- это0 – арная алгебраическая операция.

7) Фиксирование элемента , обладающего свойством:- есть0 – арная алгебраическая операция во множестве целых чисел относительно операции сложения.

Существует тесная связь между отношениями эквивалентности на множестве и отображением множествана произвольное множество.

Определение 10: Пусть . Используя отображение, введём бинарное отношениена множествеследующим образом:

.

Введенное отношение называетсяотношением равнообразности при отображении .

Теорема 2: Пусть ,- отношение равнообразности при отображении, тогда отношениеявляется отношением эквивалентности на множестве.

Доказательство: Необходимо показать, что отношение - рефлексивно, симметрично и транзитивно.

1) Согласно определению отношения равнообразности, . Отсюда следует, что отношениерефлексивно, т. к. образы одного элемента равны между собой.

2) Пусть элементы находятся в отношении. Тогда справедливо следующее рассуждение:, значит, отношениесимметрично.

3) Пусть находятся в отношении, т. е.и. Тогда, по определению отношения равнообразности имеем:и. Отсюда, в силу транзитивности отношения равенства получим:. Следовательно, по определению:, что означает транзитивность отношения. Значит,есть отношение эквивалентности на множестве. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь связь между отношением частичного порядка и отображением.

Пусть между частично упорядоченными множествами иустановлено взаимно однозначное соответствиетак, что. Другими словами, задана функция, гдеи.

Определение 11: Если из условия , гдеследует, что, и наоборот, то отображениеназываетсяизоморфным отображением (или изоморфизмом) между множествами и. Сами множестваиназываютсяизоморфными частично упорядоченными множествами.

Будем говорить, что частично упорядоченное множество изоморфно вкладывается в частично упорядоченное множество , если существует изоморфное отображение множествана некоторое подмножество множества, с индуцированным частичным порядком.

Легко показать, что частичный порядок, заданный на некотором множестве, индуцирует бинарное отношение на всяком своем подмножестве, которое будет также частичным порядком.

Теорема 3: Всякое частично упорядоченное множество изоморфно вкладывается во множество всех подмножеств некоторого множества, частично упорядоченное по включению.

Доказательство: В качестве множества можно взять само множество. Поставим в соответствие каждому элементуподмножество, составленное из всех таких элементов, таких что. Пусть элементыи- соответствующие им подмножества. Если, то,, откуда. Этим доказано, что построенное таким образом соответствие является взаимно однозначным отображением множестваво множество всех его подмножеств.

Если , то из условиябудет следовать, что. Это означает, что. Рассмотрим обратные рассуждения. Если, то, значит. Таким образом, соответствиеявляется изоморфным вложением. Теорема доказана.