Задачи для самостоятельной работы.

1) Сколько имеется различных двоичных наборов длины?

2) Сколько имеется различных функций алгебры логики от переменных?

3) Сколько имеется различных функций от переменных, сохраняющих 0 (т.е. равных нулю на нулевом наборе:)?

4) Доказать равносильности алгебры логики:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

5) Показать, что функция является самодвойственной.

6) Найти все самодвойственные функции от двух переменных.

7) Сколько имеется самодвойственных функций от переменных?

8) Дать определение несамодвойственной функции.

9) Дана произвольная несамодвойственная функция. Отождествить у нее переменные так, чтобы получилась несамодвойсвенная функция от возможно меньшего числа переменных. Каким может быть это число?

10) Представить функцию в виде СДНФ, СКНФ; найти.

11) Представить многочленами Жегалкина:

а) основные логические операции;

б) ;

в) ;

г)..

12) Сколько имеется линейных функций от переменных?

13) Какие из линейных функций являются самодвойственными?

14) Доказать, что функция, представленная полиномом Жегалкина, существенно зависят от всех входящих в них переменных.

15) Дать определение немонотонной функции.

16) Какие из основных логических операций являются монотонными?

17) Какие из линейных функций являются монотонными?

18) Перечислить все монотонные функции от двух переменных.

19) Какие из указанных функций являются монотонными:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

20) Доказать полноту следующих систем функций:

а) ;

б)

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .

21) Решить задачу, используя таблицы Поста. Какие из следующих систем функций являются функционально замкнутыми классами:

а) функции от одной переменной;

б) функции от двух переменных;

в) все функции алгебры логики;

г) линейные функции;

д) самодвойственные функции;

е) монотонные функции;

ж) монотонно убывающие функции;

з) функции, сохраняющие ноль;

и) функции, сохраняющие единицу;

к) функции, сохраняющие и нуль, и единицу;

л) функции, сохраняющие нуль, но не сохраняющие единицу?

22) Доказать, что пересечение функционально замкнутых классов — функционально замкнутый класс.

23) Является ли объединение функционально замкнутых классов функционально замкнутым классом?

24) Доказать, что дополнение собственного функционально замкнутого класса (совокупность функций, в него не входящих) не может быть функционально замкнутым классом.

Комбинаторика. Введение.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором рассматриваются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, подчиненных некоторым условиям. Комбинаторика является первой ступенькой к изучению теории вероятностей. Этот раздел изучает расположение элементов некоторого конечного множества в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов, которыми эти расположения могут быть сделаны.

Задача считается комбинаторной, если она формулируется следующим образом: дано некоторое конечное множество, состоящее из элементов, из этого множества нужно выбрать подмножество изэлементов,, спрашивается,сколькими способами это можно сделать? Комбинаторика работает только с конечными множествами.

Комбинаторика, как самостоятельная дисциплина, возникла в XVI веке, хотя самые первые комбинаторные задачи решались еще в Древнем Китае, а позднее – в Римской империи. Первые задачи комбинаторики касались азартных игр – сколькими способами можно получить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно вытянуть двух королей из карточной колоды и т.д. Подобные вопросы и явились движущей силой развития комбинаторики и теории вероятностей. Яркий свет в комбинаторике оставили Паскаль, Я. Бернулли, Лейбниц, Эйлер и другие математики.

В ХХ веке комбинаторику стали рассматривать как часть теории множеств, которая изучает различные вопросы, связанные с конечными множествами. Такой подход является естественным с точки зрения классификации основных понятий и задач комбинаторики. Иногда по смыслу задачи становится очевидным, что существует лишь конечное число интересующих нас объектов. Они, как правило, являются определенными комбинациями других объектов, например, букв, чисел, слов и т.д. Отсюда и название самой дисциплины – комбинаторика (от латинского слова combinatio – соединение).

Из сказанного становится понятным, что комбинаторика имеет дело лишь с натуральными числами. Поэтому, может показаться, что она более «элементарна», чем другие разделы математики. Такое впечатление обманчиво.

В последнее время роль комбинаторики возросла в связи с бурным развитием вычислительной техники и потребностями теории информации, изучающей методы оптимального кодирования, декодирования и передачи информации. Таким образом, в связи с созданием ЭВМ и повышением интереса к дискретной математике комбинаторика переживает бурный рост. Комбинаторный подсчет числа случаев, благоприятствующих тому или иному событию, служит хорошей психологической подготовкой к введению понятия вероятности. Комбинаторные задачи возникают в анализе и алгебре, геометрии и топологии, в различных разделах математики и в приложениях.