§3. Определение замкнутого класса. Принцип двойственности.

Пусть – некоторое подмножество множества булевых функций:.

Определение 1: Множество называетсязамыканием множества , если оно содержит все суперпозиции функций множестваи не содержит никаких других функций.

Например, если , тогда, очевидно,.

Отметим очевидные свойства замыкания:

1);

2);

3) если , то.

Определение 2: Множество называетсязамкнутым классом, если выполняется условие: .

Например, пусть . Как следует из предыдущего примера,и поэтомуне является замкнутым классом.

Если , то классявляется замыканием класса. В силу свойства 2 операции замыканияявляется замкнутым классом.

Очевидно, что пересечение любого числа замкнутых классов есть замкнутый класс.

Легко заметить, что если функции содержатся вто для выяснения того, является лизамкнутым классом, достаточно ограничиться проверкой выполнения следующего условия: если функции,...,, где, принадлежат множеству, то функциятакже принадлежит множеству.

Определение 3: Система функций из замкнутого классаназываетсяполной во множестве , если.

В случае если система полна в, то всякая функция из множестваявляется суперпозицией функции из.

Для каждого замкнутого класса с конечным базисом введем понятие порядка замкнутого класса.

Пусть – конечный базис в. Обозначим черезнаибольший из порядков функций, принадлежащих множеству.

Определение 4: Порядком замкнутого класса с конечным базисом называется такое натуральное число, что(здесь минимум берется по всевозможным базисамкласса).

Теорема 1: Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание образуют полную систему функций в .

Это утверждение вытекает из следствия 2 теоремы о разложении и соотношения: .

Из того, что и, а также из рассмотренной теоремы и неполноты каждой из систем, получаем следующие следствия.

Следствие 1: Системы функций иобразуют базисы множества.

Далее, т.к. , то,.

Следствие 2: Функция образуем базис.

Следствие 3: Порядок класса равен 2.

Введём в рассмотрение принцип двойственности, имеющий в дискретной математике очень большое значение.

Определение 5: Функция называетсядвойственной к функции .

Из определения следует, что:

1) функция двойственна к функции,

2) функция двойственна к функции,

3) функция двойственна к функции,

4) функция двойственна к функции,

5) функция двойственна к функции,

6) функция двойственна функции.

Заметим, что двойственная функция к двойственной функции есть исходная функция, т.е. .

Теорема 2: (принцип двойственности). Если данная функция имеет вид: , то двойственная ей функция:, где– это функции, двойственные к функциямсоответственно.

Доказательство: Имеем

Что и требовалось доказать.

Пусть некоторое множество функций из. Обозначим черезмножество всех тех функций, которые являются двойственными к функциям из множества.

Определение 6: Назовем множество двойственным к . Множествоназываетсясамодвойственным, если .

Тогда в силу принципа двойственности имеют место следующие утверждения.

Следствие 1: Если – замкнутый класс, тотакже образует замкнутый класс.

Следствие 2: Если – замкнутый класс и система функцийполна в, то системаполна в, т.е. изследует, что.

В частности, если является базисом замкнутого класса, тоявляется базисом.

Следствие 3: Если , то.

Определение 7: Функция называетсясамодвойственной, если , т. е..

Из доказанной теоремы следует, что суперпозиция самодвойственных функций самодвойственна, т. е. множество самодвойственных функций образует замкнутый класс.

Теорема 3: Суперпозицией из произвольной несамодвойственной функции и отрицания можно получить константы и.

Доказательство: Пусть – произвольная несамодвойственная функция, тогда существует такой набор значений переменных, что.

Покажем сначала, что, отождествляя переменные функции можно получить из нее несамодвойственную функцию от двух переменных. Действительно, разобьем переменныена две группы. В первую включим те переменные, для которых, в другую – все остальные переменные (для них). Отождествим между собой все переменные первой группы (переименуем их в), а также все переменные второй группы (подставим вместо них). Получим функцию от двух переменных(она может оказаться функцией от одной переменной, если– единичный или нулевой набор).

Ясно, что . Поэтому, а значит– несамодвойственная функция.

Может оказаться, что дальнейшее отождествление переменных с сохранением несамодвойственности невозможно. Например, – несамодвойственная функция, а отождествление переменных приводит к самодвойственной функции.

Пусть , тогда рассмотрим функцию. Эта функция является суперпозициейи. Поскольку, то отождествим для функциипеременные:. Имеем, т.е.– константа. Подставляя эту константу в, получим другую константу. Итак, мы представили в виде суперпозициииобе константыи. Что и требовалось доказать.

Замечание: Заметим, что константы являются несамодвойственными функциями.