§2. Операции над множествами. Булевы алгебры.

Основными операциями над множествами являются: объединение, пересечение множеств, а также разность и дополнение множества до универсального. Для наглядности изображения множеств и их комбинаций удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна, на которых множества выглядят как геометрические фигуры (круги, прямоугольники, эллипсы).

Определение 1: Объединением (суммой) множеств иназывается множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств,.

Обозначают: (иногда:).

По определению:. Объединение можно ещё назвать слиянием одного или нескольких множеств. Из рисунка видно, что произвольный элемент принадлежит объединению двух множеств (общая закрашенная часть), если он принадлежит одному из круговили. Следовательно:и. Эта операция очень часто встречается в различных разделах математики. Например, объединением множеств остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников даёт множество всех треугольников. Объединением чётных и нечётных целых чисел является всё множество целых чисел.

Определение 2: Пересечением (произведением) множеств иназывается множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат как множеству, так и множеству. Обозначают:(или).

По определению: . Пересечение можно также называть общей частью двух множеств. На рисунке общая часть показана штриховкой. Любая точка принадлежит заштрихованной части только тогда, когда она одновременно принадлежит и кругу, и кругу. Отсюда следует:, и. Рассмотрим некоторые примеры. Пересечением множества целых чисел, делящихся на 2, и множества чисел, делящихся на 3, является множество целых чисел, делящихся на 6. Множество правильных треугольников является пересечением множества всех треугольников с множеством правильных многоугольников.

Название операции пересечения происходит от того факта, что при пересечении множеств точек двух геометрических фигур получают множество точек пересечения этих фигур в обычном смысле слова. Например, прямая линия пересекает круг по хорде . Множество точек этого отрезка является пересечением множества точек прямой с множеством точек круга. Однако операция пересечения применима для любых множеств.

Если у множествинет общих элементов, то говорят, что данные множества не пересекаются, т. е.= Ш. Например, пересечением множества чётных натуральных чисел с множеством нечётных чисел является пустое множество.

Замечание: Анализируя определения 1 и 2, можно отметить, что операции объединения соответствует логический союз «или», а операции пересечения – союз «и».

Определение 3: Разностью множеств иназывается множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат множествуи не принадлежат множеству.

Обозначают: . Читают: множествобез.

По определению:. Еслине является частью множества, то вычитаниесводится к удалению из множестваобщей части множестви:. Из определения следует, что,Ш.

В случае если , то разностьназываетсядополнением множества до множества, обозначают:.

Теорема 1: Для любых множеств иследующие утверждения являются равносильными:

1) ;

2) ;

3) .

Доказательство: Докажем сначала, что .

Если , то- очевидно. Докажем второе следствие. По определению операции пересечения множеств имеем:. Нужно получить обратное включение. Если удовлетворяется равенство, тогда, откуда. Если, то. Значит, по свойству антисимметричности отношения включения:. Покажем, что. По определению, но по условию, значит.

Аналогично можно показать, что выполняются и обратные утверждения.

Теорема 2: (свойства операций над множествами): Для любых множеств А, В, С имеют место следующие равенства:

1) ;(идемпотентность);

2) ;(коммутативность);

3) ;(ассоциативность);

4) ;(дистрибутивность);

5) ;.

Доказательство: Доказательства подобных утверждений можно проводить с помощью диаграмм Эйлера-Венна, или с помощью рассуждений. Докажем для примера одно из утверждений (5):

.

Для доказательства равенства нужно показать, что если произвольный элемент принадлежит левой части, то он принадлежит и правой части.

Пусть , тогда по определению разности:и. Это значит (по определению операции объединения), чтои (и). Последняя ситуация возможна в тех случаях, когда (и) и (и). Значит, по определению операции разности:и. Следовательно,. Это показывает, что произвольно выбранный элемент из правой части равенства, принадлежит левой части. Обратное включение – аналогично. Равенство доказано.

Для изображения универсального множестваобычно используют прямоугольник. Напомним, что универсальное множество – есть множество всех подмножеств в данной задаче. Например, среди всех стандартных числовых множеств универсальным можно считать множество действительных чисел:.

Определение 4: Пусть - некоторое подмножество универсального множества:. Тогда ту часть универсального множества, которая не содержится во множестве, называютдополнением множества до универсального множества. Обозначают:.

Если , то справедливы следующие очевидные утверждения:

;

;

;

;

;

;

.

Теорема 3: Для любых множеств иимеют место следующие утверждения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) (законы де Моргана).

Доказательство: Докажем некоторые утверждения.

1) Покажем, что если произвольный элемент принадлежит левой части, то он принадлежит и правой части равенства и наоборот.

Пусть , это возможно тогда и только тогда, когда. Из последнего по определению разности множеств имеем:и. Значит, по определению дополнения имеем:и. Последнее равносильно тому, что. Следовательно,по определению операции пересечения. Таким образом, выполнено равенство:. Оно означает, что дополнение к дополнению множества, есть само множество.

3) Докажем один из законов де Моргана.

Пусть . Это возможно тогда и только тогда, когда. Используя свойства операций над множествами (теорема 2), преобразуем разность:. Последнее означает, что. Что и требовалось доказать.

Замечание: В теории множеств очень распространённым является соотношение двойственности. Оно заключается в следующем. Если в каждом из перечисленных свойств операций над множествами поменять между собой символы и,и,и, то в результате снова получится одно из этих свойств. Отсюда вытекает, что каждой теореме, которая может быть выведена из перечисленных свойств, соответствует другая, двойственная ей теория.

Теорема 4: Пусть - конечное множество, содержащееэлементов:. Тогда множество всех подмножеств множествасодержитэлементов.

Доказательство: Для доказательства можно использовать свойства биномиальных коэффициентов. Формула бинома Ньютона имеет следующий вид: . Применим её для нашего случая:. Здесь- это число подмножеств, не содержащих элементов (т.е. пустое множество);- это число одноэлементных подмножеств;- число всех двухэлементных подмножеств и т. д.,- это само множество. Значения биномиальных коэффициентов могут быть взяты из соответствующих строк треугольника Паскаля. Таким образом, будет посчитано количество всех подмножеств данного множества.

Замечание: Для произвольного множества множество всех его подмножеств часто обозначают.

Заметим, что множество всех подмножеств любого множества относительно операций объединения, пересечения, дополнения обладает всеми свойствами, перечисленными выше. Этими же свойствами обладает и всякая конечная или бесконечная система множеств, если только для любого множества этой системы его дополнение принадлежит этой системе, и для любой пары множеств данной системы их пересечение и объединение также принадлежат этой системе. Простейшей такой системой может служить система из двух множеств.

В математике встречаются и другие объекты, кроме множеств, для которых определены операции «сложения», «умножения» и «дополнения», удовлетворяющие свойствам операций над множествами (коммутативность, ассоциативность и др.). Такие системы впервые изучал в 1847 г. английский математик Дж. Буль, поэтому такие системы называют булевыми алгебрами.

Примером булевой алгебры может служить множество всех делителей числа 30. Рассмотрим это множество: и зададим на нём операции сложения и умножения его элементов. Под «сложением» двух делителей будем подразумевать образование их наименьшего общего кратного, а под «умножением» – образование наибольшего общего делителя.

Например, ,. Соотношениеозначает, что– делитель числа. Роль элементаиграет число 1, а роль элементачисло 30. Дополнением делителядо универсального множества будем считать элемент. Например,. Дополнение, а также результаты любой операции (объединение, пересечение), должны принадлежать множеству. Это означает замкнутость данного множества относительно основных операций.

Далее можно проверить выполнение всех свойств, перечисленных выше:

1) ;;

2) ;;

3) ;;

4) ;;

5) ;.

Определение 5: Таким образом, булева алгебра – это непустое множество с тремя операциями,иудовлетворяющими аксиомам(1)-(5).

Для булевых алгебр обозначения операций остаются такими же, как прежде (знаками объединения, пересечения и дополнениями) потому, что они обладают теми же свойствами.

Позже будет установлена связь между булевыми алгебрами и алгеброй логики.

Определение 6: Пусть и– две однотипные булевы алгебры. Отображениеалгебрыв алгебруназываетсяизоморфизмом, если – взаимно однозначно и сохраняет основные булевы операции. Другими словами, отображениедолжно быть биективным (инъективным и сюрьективным), кроме того, образ любой операции должен быть равен операции образа:

,

,

.

Из определения следует, что отображение сохраняет операцию вычитания:

.

Кроме того, изоморфизм переводит нуль и единицуалгебрыв нуль, и единицу алгебры:

; .

Доказано, что всякая булева алгебра изоморфна некоторой алгебре подмножеств с булевыми операциями объединения, пересечения и дополнения. В частности, любые две конечные булевы алгебры, содержащие одинаковое количество элементов изоморфны.