Глава 3.

Булевы функции

(Функции алгебры логики)

§1. Основные понятия и определения.

С точки зрения алгебры высказываний логические операции полностью характеризуются истинностными таблицами. При этом можно забыть о том, что мы рассматриваем какие-то операции над высказываниями, и иметь дело лишь с самими таблицами. Таблицу можно рассматривать, как способ задания некоторой функции. Таким образом, мы приходим к понятию функции алгебры логики, которое и будем исследовать в дальнейшем. Однако полезно не забывать об указанных интерпретациях логических связок.

В отличие от алгебры высказываний мы будем дальше употреблять следующие обозначения: 1 и 0 вместо привычных символов и – «истина», л – «ложь». При этом если нет никакой оговорки, мы не будем вкладывать «арифметический смысл» в эти символы.

Будем исходить из счетного алфавита переменных .

Определение 1: Пусть это множество всех функций, переменные которых определены на множествеи таких, что, если. Функции из множествабудем называтьфункциями алгебры логики (или булевыми функциями).

Таким образом, все булевы функции принимают свои значения из множества , т.е. могут быть истинными или ложными.

Замечание: В общем случае логические переменные могут принимать одно из значений. Такая логика называется- значной логикой. Перечень всехсимволовсоставляет алфавит, а сами символы- буквы алфавита.

Определение 2: Функция полностью определена, если задана таблица, содержащая всевозможные варианты значений переменных (наборы) и соответствующие им значения функции.

Из определения следует, что функция полностью определена, если задана таблица:

................	..................

Если рассматривать наборы как разложения в двоичной системе исчисления чисел, то принятое расположение наборов в приведенной таблице, очевидно, соответствует расположению этих чисел в порядке возрастания.

Определение 3: Будем говорить, что функция существенно зависит от переменной , если найдутся два набора, отличающиеся только- й переменной:итакие, что. Переменнаяназываетсясущественной для функции . Все переменные, от которых функцияне зависит существенно, называютсяфиктивными.

Определение 4: Число всех переменных, от которых функция зависит существенно, называется порядком функции.

Определение 5: Две функции называются равными, если одна из них может быть получена из другой путем добавления или изъятия некоторых фиктивных переменных.

Замечание: Из сказанного следует, что если задана конечная система функций из множества, то можно считать, что все эти функции зависят от одних и тех же переменных.

Для дальнейшего изложения введём в рассмотрение следующие элементарные функции: ,,,,,,,,.. Определение и логическое значение каждой из этих функций содержится в следующей таблице:

0	1
0	1	0	1	0 0	0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	0 1	0	1	1	0	1	1
				1 0	0	1	0	0	1	1
				1 1	1	1	1	1	0	0

Функции иназываютсяконстантами. Функция называетсяфункцией, тождественно равной , аназываетсяотрицанием переменной . Функцияназываетсяконъюнкцией (или логическим произведением) и, а–дизъюнкцией (или логической суммой) и. Функция– этоимпликация переменных и. Выражениепредставляет собой эквивалентность от тех же переменных. Функция- этосложение по модулю 2. Наконец, называетсяфункцией Шеффера (или штрихом Шеффера) от переменных и.

Замечание: Далее вместо символа будем употреблять символ умножения или, как в обычной алгебре, знак этой операции будем опускать. Символыив дальнейшем будут употребляться для обозначения сложения по, при этом, исходя из определения:.

Можно также отметить, что константы ине зависят ни от одной переменной, следовательно, имеют нулевой порядок.