
- •Курс лекций
- •Глава 1. Множества
- •§1. Основные понятия и определения теории множеств.
- •§2. Операции над множествами. Булевы алгебры.
- •§3. Прямое произведение множеств. Бинарные отношения.
- •Представление бинарных отношений графами.
- •§4. Бинарные отношения эквивалентности и порядка. Фактор-множество.
- •§5. Отображения (функции). Алгебраические операции.
- •§6. Частично упорядоченные множества. Булевы алгебры.
- •§7. Мощность множества. Сравнение мощностей.
- •§8. Арифметика кардинальных чисел. Ординалы. Трансфинитная индукция.
- •Заключение.
- •Задачи для самостоятельной работы.
- •Глава 2. Математическая логика Введение.
- •§1. Основные понятия и определения алгебры высказываний.
- •§2. Формулы алгебры логики. Тавтологии.
- •Зависимости между различными логическими операциями:
- •§3. Логика предикатов. Основные понятия и определения.
- •§4. Операции над предикатами.
- •§5. Формулы и тавтологии логики предикатов.
- •§6. Формальный язык логики высказываний.
- •§7. Основные понятия о формализации логики предикатов. Свойства теорий первого порядка.
- •Задачи для самостоятельной работы.
- •Глава 3.
- •Булевы функции
- •(Функции алгебры логики)
- •§1. Основные понятия и определения.
- •§2. Определение формулы и суперпозиции.
- •§3. Определение замкнутого класса. Принцип двойственности.
- •§4. Многочлены Жегалкина. Линейные функции. Монотонные функции.
- •§5. Теорема Поста.
- •Задачи для самостоятельной работы.
- •Комбинаторика. Введение.
- •§1. Правила комбинаторики.
- •§2. Комбинаторика без повторений.
- •§3. Свойства сочетаний.
- •§4. Комбинаторика с повторениями.
- •Упражнения для самостоятельной работы.
- •Список литературы.
Задачи для самостоятельной работы.
1. Определить
истинность следующих высказываний,
если
,
,
,
:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10).
2. Могут ли следующие высказывания быть ложными? Если да, то каковы должны быть значения высказываний P, Q, R?
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
3. В следующих сложных высказываниях выделить элементарные высказывания, обозначить их буквами и записать с помощью логических символов:
1)
и
;
2) данное число делится на 2 и на 3, или не делится на 6;
3) если одно слагаемое делится на 3 и сумма делится на 3, то второе слагаемое делится на 3;
4) если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или делят углы пополам, то данный параллелограмм – ромб;
5) если целое число – положительно и чётно, то оно простое, или не больше двух;
4. Определить, является ли данная последовательность символов формулой:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
5. Построить таблицы истинности для следующих формул, сделать соответствующие выводы:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
.
6. Являются ли следующие формулы тавтологиями?
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
.
7. Выразить все основные логические операции через конъюнкцию и отрицание; через дизъюнкцию и отрицание.
8. Доказать следующие равносильности двумя способами (с помощью преобразований и с помощью истинностных таблиц):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
9.
Доказать,
что если формулы
и
тавтологии, то
тоже тавтология.
10. Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения?
1)
; 4)
;
2)
; 5)
.
3)
;
11. Прочитать следующие высказывания. Какие из них принимают истинные значения?
1)
; 4)
;
2)
; 5)
;
3)
; 6)
.
12. Используя логические символы, записать следующие высказывания. Построить к ним отрицание.
1) Числа 5
и 12
не имеют общих делителей, отличных от
.
2) Если натуральное число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3.
3) Для любого целого
числа
существует целое число
такое, что
или
.
4) Каким бы ни было
натуральное число
,
найдётся число, большее, чем
.
5) Существует наименьшее натуральное число.
6) Система линейных
уравнений
не совместна.
7) Не существует
рационального числа
такого, что
.
8) Для всяких целых
чисел
и
существует целое число
такое, что
.
13. Доказать следующие равносильности:
1)
;
2)
;
3)
.
14. Доказать законы де Моргана для предикатов.
15.
Найти множество истинности предикатов,
определённых на множестве
:
1)
; 3)
;
2)
; 4)
.
16.
Найти множество истинности следующих
двуместных предикатов, определенных
на множестве
:
1)
; 3)
;
2);4)
17. Указать свободные и связные вхождения переменных в следующих формулах:
1)
;
2)
;
3)
.
18. Записать собственные аксиомы для формальной теории:
а) групп; б) колец; в) полей.
19. Выполнимы ли следующие формулы:
а)
; г)
;
б)
; д)
;
20. Доказать, что бескванторная формула теории предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда она может быть получена подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний.