§6. Формальный язык логики высказываний.

Таблицы истинности в логике высказываний позволяют ответить на многие вопросы. Например, является ли данная формула тавтологией, противоречием или выполнимой формулой; влечёт ли она логически другую формулу; являются ли две формулы логически эквивалентными. Однако более сложные вопросы логики высказываний не решаются с помощью таблиц истинности. Поэтому в данном параграфе будет рассмотрен новый метод решения логических задач. Это – метод формальных теорий. Хотя основные вопросы в логике высказываний могут быть решены с помощью таблиц истинности, мы проиллюстрируем аксиоматический метод на этой простой ветви логики.

Определение 1: Формальная (аксиоматическая) теория считается определенной, если выполнены следующие условия:

1) Задано счетное множество символов – алфавит теории. Конечные последовательности символов алфавита называются выражениями теории.

2) Имеется подмножество выражений теории, называемых формулами теории (грамматика языка).

3) Выделено некоторое множество формул, называемых аксиомами теории.

4) Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода (синтаксис языка теории). Для каждой из формул и данной формулыможно выяснить, является ли данная формулав одном из отношений сформулами. Если да, то формулуназываютнепосредственным следствием исходных формул по данному правилу вывода.

Определение 2: Выводом называется всякая последовательность формул , такая, что для любогоформулаявляется либо аксиомой данной теории, либо непосредственным следствием каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода.

Определение 3: Формула в некоторой теории называетсятеоремой теории, если существует вывод в данной теории, в котором последней формулой является . Такой вывод называетсядоказательством формулы .

Определение 4: Формула называетсяследствием формул множества тогда и только тогда, когда существует такая последовательность формул, что. И для каждогоформулаявляется либо аксиомой, либо формулой из множества, либо непосредственным следствием некоторых предыдущих формул по одному из правил вывода. Такая последовательность называетсявыводом из множества. Формулы из множестваназываютсягипотезами, или посылками вывода.

Теперь перейдём к изложению формальной аксиоматической теории для исчисления высказываний.

1) Алфавитом теории являются символы:,,,и буквыс целыми положительными индексами:Символыиназываютпримитивными связками (логические операции отрицание и импликация), а буквы –пропозиционными буквами.

2) а) Каждая пропозиционная буква есть формула.

б) Если и– формулы, тои– тоже формулы.

Таким образом, всякая формула теории получается из пропозиционных букв с помощью логических операций отрицания и импликации.

3) Каковы бы ни были формулы теории, следующие формулы есть аксиомы в теории:

(А1) ;

(А2) ;

(А3) .

4) Единственным правилом вывода служит правило modus ponens: «есть непосредственное следствиеи». Это правило будем сокращенно обозначать:Далее будем придерживаться соглашений о сокращении числа скобок.

Отметим, что бесконечное множество аксиом теории задано с помощью всего лишь трех схем аксиом,,, каждая из которых порождает бесконечное множество аксиом.

Мы строим систему таким образом, чтобы класс всех теорем этой теории совпадал с классом всех тавтологий исчисления высказываний.

Введем в рассмотрение остальные логические операции (связки) с помощью следующих определений:

означает;

означает;

означает.

Другими словами, мы выбираем новые названия для некоторых выражений языка теории .

Замечание: Слово «вывод» (или «доказательство») употребляется в двух различных смыслах. Во-первых, оно употребляется как название конечных последовательностей формул теории . Во-вторых, оно означает последовательность предложений разговорного языка (дополненного техническими терминами), о которой предполагается, что она служит достаточно обоснованной аргументацией в пользу утверждения о теории. Мы изучаем язык теориис помощью метаязыка. Этот метаязык можно было бы формализовать, но тогда рассуждения о нём нужно было бы проводить в новом метаязыке и т. д.

Далее будут рассмотрены теоремы формальной теории и «метатеоремы» о свойствах этой формальной теории.

Теорема 1: Для любой формулы в теорииформулавыводима.

Доказательство: Построим вывод формулы в теории.

1. (схема аксиом(А2)).

2. (схема аксиом(А1)).

3. (из 1 и 2 по правилу вывода).

4. (схема аксиом(А1)).

5. (из 3 и 4 по правилу вывода).

Подобным образом доказываются другие теоремы этой теории.

Теорема 2 (метатеорема): Всякая теорема теории есть тавтология.

Доказательство прямого утверждения очень простое. Для примера можно убедиться в том, что каждая аксиома теории есть тавтология. Кроме того, еслии– тавтологии, то иявляется тавтологией. Таким образом, правилоmodus ponens, примененное к тавтологиям, приводит к тавтологиям. Следовательно, всякая теорема теории есть тавтология.

Можно показать, что верна и обратная теорема, а именно, что каждая тавтология является теоремой теории .

При построении любой аксиоматической теории необходимо следить, чтобы аксиоматика была непротиворечивой, т. е., чтобы из аксиом нельзя было вывести противоречия (иодновременно не могут быть теоремами теории).

Действительно, каждая теорема теории является тавтологией. Отрицание тавтологии не является тавтологией. Следовательно, ни для какой формулыневозможно, чтобыибыли теоремами теории.

Отметим, что существуют и другие аксиоматизации теории .

Из непротиворечивости следует существование формулы, не являющейся теоремой теории(например, отрицание любой теоремы).