Зависимости между различными логическими операциями:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) .

Данные равносильности также можно доказывать несколькими способами: а) метод истинностных таблиц (у равносильных формул таблицы истинности совпадают построчно), б) метод равносильных преобразований, в) с помощью рассуждений.

Докажем выборочно некоторые равносильности.

(4) Построим таблицу истинности для данной формулы:

и	и	л	и	и
и	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	л	и	и	и

Последние две колонки, соответствующие левой и правой частям эквивалентности, совпадают. Значит, формулы, записанные в этих колонках, являются равносильными.

Таким образом, равносильные формулы будут иметь одинаковые таблицы истинности и наоборот, формулы, таблицы истинности которых совпадают, равносильны. Этим можно пользоваться на практике для установления равносильности формул.

Докажем это же утверждение (4) с помощью рассуждений.

Пусть и – произвольные высказывания. Импликация ложна в одном случае, когда,. Дизъюнкцияложна, если оба высказыванияи – ложны, т. е. ,. Таким образом,иоба ложны тогда и только тогда, когда,. В остальных случаях оба высказывания всегда истинны. Значит, при любом наборе значений пропозиционных переменных данные формулы принимают одинаковые истинностные значения, т. е. эквивалентны.

Остальные равносильности можно доказать аналогично.

Теорема 2: (Условие равносильности формул исчисления высказываний):

Две формулы исчисления высказываний и, образованные с помощью одних и тех же пропозиционных букв, равносильны тогда и только тогда, когда эквивалентность этих высказыванийявляется тавтологией.

Доказательство.

Необходимость: Пусть формулы иравносильны. Тогда, по определению, для любого набора значений пропозиционных переменных,,...,формулыи принимают одинаковые истинностные значения. Это значит, что высказывания ибудут либо оба истинны, либо оба ложны. В обоих случаях эквивалентностьистинна. Следовательно, исходная формула есть тавтология.

Достаточность: Пусть формула в условии теоремы есть тавтология, тогда для любого набора значений пропозиционных переменных, например, ,,...,её значение будет «истина», т.е. эквивалентностьесть истинное высказывание. Следовательно, высказыванияилибо оба истинны, либо оба ложны. Таким образом, для любых значений пропозиционных переменных формулыипринимают одинаковые истинностные значения, поэтому они равносильны. Теорема доказана.

§3. Логика предикатов. Основные понятия и определения.

В математике принято одной и той же буквой обозначать различные объекты, т. е. под буквой фактически понимается переменная, принимающая значения из некоторого множества. Такие переменные называются свободными переменными. Множества, на которых определены свободные переменные, называются допустимыми множествами для свободных переменных. А элементы допустимых множеств называются значениями свободных переменных.

В логике часто встречаются выражения, грамматически имеющие форму высказываний, но содержащие предметные переменные некоторых множеств. Например, предложение «– простое число» содержит свободную переменную, принимающую значения из множестванатуральных чисел. Это множество является допустимым множеством переменной, а элементы множестваявляются допустимыми значениями переменной. Если заменитьлюбым натуральным числом, то данное предложение превращается в высказывание. Например, «16 – простое число» - это ложное высказывание, а «19 – простое число» - истинное высказывание. В дальнейшем всякое предложение, содержащее свободную переменную, будем называтьпредикатом.

Определение 1: - местным предикатом, определенным на некотором множестве , называется выражение, содержащее предметные переменные данного множества, и обращающиеся в высказывание при замене переменных любыми элементами данного множества.

Замечание: Если , то предикат называется одноместным, приимеем двуместный предикат и т. д.

Каждое алгебраическое уравнение и неравенство представляет собой предикат. Например, «» - двуместный предикат, определённый на множестве всех пар действительных чисел. Подставив вместо переменных любую пару действительных чисел, получим высказывание (- ложное высказывание,- истинное). Одноместный предикат выражает условие или свойство объекта (например,), а двуместный предикат – отношение между объектами (например,). Высказывание принято считать нульместным предикатом.

Для предикатов введём следующие обозначения: - одноместный предикат,- двуместный,- трёхместный. В общем случае будем рассматривать-- местный предикат.

Любое уравнение (или система уравнений) с неизвестными, допустимая область значений которых есть множество действительных чисел, будет– местным предикатом, определенным на множестве действительных чисел. При замене переменных решением уравнения (или системы), получим истинное высказывание; при замене переменных числами, не являющимися решениями, получим ложное высказывание.

Определение 2: Пусть -- местный предикат, определённый на некотором множестве. Если значениятакие, что, то говорят, что набор значенийудовлетворяют предикату.

Определение 3: Множество всех значений таких, что предикатпри этих значениях принимает значение «истина», называетсяобластью истинности предиката.

Определение 4: Предикат , определённый на множестве, называетсятождественно истинным, если при любом наборе значений переменных из множества предикат принимает значение «истина».

В этом случае область истинности предиката совпадает с множеством .

Определение 5: Предикат , определённый на множестве, называетсятождественно ложным, если при любом наборе значений переменных из множества предикат принимает значение «ложь».

В данном случае область истинности предиката – есть пустое множество.

Определение 6: Предикат называетсявыполнимым на множестве , если имеется хотя бы один набор значений переменных, при котором предикат принимает значение «истина».

Например, пусть ,– переменные, принимающие значения во множестве действительных чисел. Тогда двуместный предикатбудет тождественно истинным; одноместный предикатбудет тождественно ложным; двуместный предикатбудет выполнимым, но не тождественно истинным.

Определение 7: Пусть и- два предиката, определённые на одном и том же множестве. Предикатыиназываютсяравносильными на множестве , если для любого набора значений переменных предикаты принимают одинаковые истинностные значения. Обозначается:.

Например, если – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел, то одноместные предикаты «» и «» равносильны.

Если любые два уравнения равносильны в алгебраическом смысле, то они будут равносильными предикатами.

Определение 8: Пусть и– два- местных предиката, определенных на одном и том же множестве. Предикатназываетсяследствием предиката , еслиудовлетворяется любыми аргументами, удовлетворяющими.

Например, одноместный предикат, определенный на множестве целых чисел, «делится на 3» является следствием одноместного предиката, определенного на том же множестве,«делится на 6».Таким образом, если предикат- есть следствие предиката, то область истинности предикатасодержит область истинности предиката.

Значит, два - местных предиката, определенных на одном и том же множестве, равносильны (тождественно эквивалентны) тогда и только тогда, когда каждый из них является следствием другого.

Очевидно, что каждый тождественно истинный - местный предикат является следствием любого другого- местного предиката, определенного на том же множестве. Каждый- местный предикат, определенный на множестве, является следствием любого тождественно ложного- местного предиката, определенного на том же множестве.