§2. Формулы алгебры логики. Тавтологии.

В алгебре выводятся формулы, которые остаются верными, какие бы числа не подставляли вместо букв, входящих в эти формулы. Подобным образом в алгебре высказываний конструируются формулы из некоторых букв, вместо которых можно подставлять любые высказывания. Введём символы ,,..., которые будем называтьпропозиционными переменным (или пропозиционными буквами).

Из пропозиционных букв, логических операций и скобок можно составлять различные выражения; некоторые из них называются формулами.

Определение 1: Формулами исчисления высказываний являются:

а) каждая пропозиционная буква;

б) если и- формулы, то формулами являются также,,,,,.

Выражения, перечисленные в пункте б), называются соответственно отрицанием формулы , конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквивалентностью, сложением по модулю 2 формули.

Из определения следует, что каждая формула исчисления высказываний либо является пропозиционной буквой, либо может быть получена из конечного числа пропозиционных букв путём многократного применения пункта б). Сначала к исходным пропозиционным буквам, затем к полученным формулам и т. д.

Для уменьшения числа скобок в формулах принято пропозиционные буквы и отрицание в скобки не заключать. Затем, как и в алгебре, принята приоритетность операций в такой последовательности: Ї, ,,,.

Так, например, выражение является формулой, в которой все скобки можно опустить. А в выражениискобки опускать нельзя.

Определение 2: Формулы исчисления высказываний, образованные из пропозиционных букв ,,..., , логических операций и скобок, будем обозначать. Если в этой формуле заменить пропозиционные буквы,,..., соответственно высказываниями,,...,, то получим составное высказывание, которое назовёмлогическим значением формулы при , ,..., .

Из определения следует, что значение формулы для данных высказываний,,...,зависит только от логического значения последних. Эту зависимость можно выразить с помощью таблицы изстрок. Число строк таблицы равно числу возможных комбинаций значений высказываний,,...,. В строках последнего столбца указываются соответствующие значения формулы. Например, для формулытаблица истинности имеет следующий вид:

л	л	л	и	и	и
л	л	и	и	и	и
л	и	л	и	и	и
л	и	и	и	и	и
и	л	л	и	л	и
и	л	и	и	и	и
и	и	л	л	л	л
и	и	и	л	и	и

Здесь для облегчения заполнения таблицы в неё введены дополнительные столбцы, в которых указаны значения отдельных частей формулы.

Определение 3: Формула исчисления высказываний называется тавтологией (или тождественно истинной формулой), если её значения есть «истина» для всех наборов значений пропозиционных переменных, входящих в эту формулу.

Нахождение тавтологий – это основная задача логики высказываний, так как они выражают законы логического мышления.

Для произвольной формулы легко проверить, является ли она тавтологией. Для этого составляют таблицу истинности этой формулы, или проверяют с помощью рассуждений. Например, для рассмотренной формулы можно выяснить, когда обе части дизъюнкцииибудут ложными. Первая частьложна, когда. Вторая частьпринимает ложное значение, когда,. Таким образом,, значит, формула не является тавтологией.

Теорема 1: Следующие формулы исчисления высказываний являются тавтологиями:

1) -закон исключенного третьего;

2) -закон отрицания противоречия;

3) -закон двойного отрицания;

4) ,

5) ,

6) ,

7) -законы упрощения;

8) ,

9) -законы коммутативности конъюнкции и дизъюнкции;

10) ,

11) -законы ассоциативности операций и;

12) ,

13) -законы дистрибутивности;

14) ,

15) -законы де Моргана;

16) -закон тождества;

17) -закон контрапозиции;

18) -правило цепного заключения;

19) ,

20) ,

21) -свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности операции ↔ соответственно;

22) -закон противоречия.

Доказательство: Эту теорему можно доказать, построив таблицу истинности для каждой тавтологии. При этом для любого набора значений пропозиционных переменных, входящих в формулу (т. е. для каждой строки таблицы), формула должна принимать значение «истина».

Докажем некоторые из перечисленных тавтологий.

(1) Действительно, по определению отрицания, для любого высказывания , либо оно, либо его отрицание истинно. И, следовательно, дизъюнкцияистинна, т. к. одна из её компонент обязательно будет истинной. Первое утверждение теоремы доказано.

(7) Пусть и – некоторые высказывания. Если конъюнкция истинна, то и высказываниеистинно. Таким образом, для любых двух высказываний значение импликациине может быть ложью. Значит это тавтология.

(14) Пусть и – два высказывания. Рассмотрим два составных высказывания и. Допустим, что отрицаниеистинно. Тогда конъюнкциябудет ложна, а, следовательно, по крайней мере, одно из высказыванийили ложно. Но тогда, по крайней мере, одно из высказываний или– истинно, а, следовательно, их дизъюнкциятоже истинна.

Допустим далее, что отрицание ложно. Тогда конъюнкцияистинна. Следовательно, оба высказыванияи истинны, а их отрицания ,– оба ложны, т. е. их дизъюнкцияложна. Таким образом, для любых значений пропозиционных переменных, входящих в формулу (14), она всегда принимает значение «истина», а значит, является тавтологией.

Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.

Определение 4: Формула исчисления высказываний называется тождественно ложной (или противоречием), если при любом наборе значений пропозиционных переменных, входящих в эту формулу, она принимает значение «ложь».

Например, формулы ,при любом значениипринимают значение «ложь», а значит являются тождественно ложными.

Определение 5: Формула исчисления высказываний называется выполнимой, если существует такой набор значений пропозиционных переменных, входящих в эту формулу, при котором формула принимает значение «истина».

Для того, чтобы доказать выполнимость формулы, нужно указать хотя бы один набор значений пропозиционных переменных, при котором формула принимает истинное значение.

Определение 6: Формулы иназываютсяравносильными (логически эквивалентными), если при любом наборе значений пропозиционных переменных формулы ипринимают одинаковые истинностные значения.

Приведём некоторые равносильности алгебры высказываний, которые выражают связь между различными логическими операциями.