§1. Основные понятия и определения алгебры высказываний.

В данном параграфе будет рассмотрена наиболее простая (элементарная) часть логики.

Определение 1: Высказыванием будем называть простое повествовательное предложение, которое что-либо утверждает и может быть либо истинным, либо ложным. Например, предложение: «Луганск стоит на берегу реки Лугань» – истинное высказывание, а «» – ложное.

Определение 2: Высказывание, для которого никакая его часть не является высказыванием, называется простым или элементарным высказыванием, или атомом.

Из простых высказываний с помощью логических операций можно получать составные или сложные высказывания. Мы будем обозначать высказывания заглавными буквами или буквами с индексами.

Определение 3: Под значением высказывания понимают его истинностное значение (т. е. ложь или истина).

Рассмотрим логические операции над высказываниями. К основным логическим операциям относятся следующие:

1) Отрицание – обозначается ,читается: «не » или «неверно, что».

2) Дизъюнкция (логическое сложение), обозначаемое(читается «или»).

3) Конъюнкция (логическое умножение), обозначаемое (читается «и»).

4) Импликация – обозначается или(читается «изследует», «если, то», « влечёт »).

5) Эквивалентность – обозначается или(читается «равносильно», «тогда и только тогда, когда», «длянеобходимо и достаточно», «эквивалентно»).

6) Сложение по модулю 2 – обозначается (читается «плюс»).

Логические операции удобно определять с помощью таблиц истинности. Таблица истинности для отрицания выглядит следующим образом:

И	Л
Л	И

Отрицание – это одноместная или унарная операция. Отрицание истинного высказывания ложно и наоборот. Так, например, если это истинное высказывание, толожно.

Остальные логические операции – бинарные или двуместные. Приведём таблицы истинности этих операций:

И	И	И	И	И	И	Л
И	Л	И	Л	Л	Л	И
Л	И	И	Л	И	Л	И
Л	Л	Л	Л	И	И	Л

Из таблицы видно, что дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, обозначаемое(читается «или»), которое считается истинным, если хотя бы одно из высказыванийилиистинно, и ложным, если оба они ложны. Следует иметь в виду, что в разговорной речи союз «или» при построении сложных предложений употребляется в двух различных смыслах: не альтернативное (не исключающее) «или» и альтернативное (исключающее) «или». Рассмотрим предложение: «Сегодня вечером мы будем готовиться к математическому анализу или к алгебре». Это предложение утверждает, что вечером мы будем готовиться к одному или к другому предмету, а может быть и к одному, и к другому последовательно (нет альтернативы). А в предложении: «Сегодня вечером мы пойдём на дискотеку или будем заниматься» утверждается, что мы будем либо заниматься, либо развлекаться, исключающее одновременное занятие и тем, и другим. В разных предложениях русского языка союз «или» может также употребляться для противопоставления или для перечисления (в смысле «и»). Кроме того, в русском языке союзом «или» соединяются высказывания, которые как-то связаны по смыслу. В логике дизъюнкция имеет только единственный не альтернативный смысл, зафиксированный в таблице истинности. При этом нас совершенно не интересует смысл высказываний. Важно только истинно или ложно каждое из них.

Аналогично союз «и» в разных предложениях русского языка может иметь смысл «а», «но», «или». В логике конъюнкция имеет единственный смысл: сложное высказывание «и» истинно тогда и только тогда, когда каждое из высказыванийпринимает значение «истина».

Логическая операция, соответствующая обороту «если ..., то ...», посредством которого образуются условные предложения, называется импликацией, обозначается: . При этом высказываниеназываетсяпосылкой (условием) импликации, а –заключением (следствием). Импликация ложна только в том случае, когда посылка истинна, а заключение ложно, в остальных случаях импликация считается истинной. В русском языке импликация «из следует» употребляется только для высказываний, связанных по смыслу. Например, выражение «Если 2 + 2 = 5, то снег чёрный» в русском зыке не употребляется. Поэтому на первый взгляд может показаться странным, почему высказывания «» и «» оба истинны. Однако давно известно, что следствия ложного высказывания могут быть и истинными и ложными. Например, из арифметики известна теорема: «Если натуральное число делится на 4, то оно делится на 2». Применим эту теорему, например, для числа 10. Получим: «Если число 10 делится на 4, то оно делится на 2», т. е. «» - верно. Или для числа 11: «Если число 11 делится на 4,то оно делится на 2», т. е. «» - истина. Тот факт, что из ложной посылки с помощью «правильных» рассуждений можно получить истинное утверждение, давно известен.

Следующей логической операцией является связка, называемая эквивалентностью. Обозначается: . Эквивалентность соответствует оборотам типа: «тогда и только тогда, когда ...», «для того, чтобы ..., необходимо и достаточно ...» и т. д. Высказываниепринимает значение «истина» тогда и только тогда, когдаипринимают одинаковые истинностные значения. К эквивалентности, как и к предыдущим логическим операциям, относится замечание о том, что её использование в алгебре высказываний никак не учитывает смысловое содержание высказыванийи, к чему мы привыкли в разговорной речи.

Заметим, что основные логические операции, которые мы определили, не являются независимыми. Нетрудно проверить, что импликация и дизъюнкцияимеют одинаковые таблицы истинности. Аналогично, эквивалентность, конъюнкция, сложение по модулю 2также имеют совпадающие таблицы истинности. Более того, далее будет показано, что всякую логическую операцию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание, конъюнкцию и отрицание или через импликацию и отрицание.

Введенная нами бинарная операция эквивалентности над высказываниями, рассматриваемая, как бинарное отношение на множестве высказываний, обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т.е. является отношением эквивалентности. Соответствующее фактор-множество состоит из классов таких, что если два высказывания принадлежат одному классу, то они эквивалентны. Это множество классов будет булевой алгеброй относительно операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (также, как и множество всех подмножеств произвольного множества относительно операций объединения, пересечения и дополнения). В полученном множестве классов эквивалентных высказываний роль пустого множества (нуля) играет класс тождественно ложных высказываний, роль универсального множества (единицы) играет класс тождественно истинных высказываний.