Лекция 1.
Тема: Булева алгебра
План лекции
1. Понятие системы счисления по любому основанию, двоичная система.
2. Понятие высказывания, простые и составные высказывания.
3. Операции на множестве высказываний.
1. Понятие системы счисления по любому основанию, двоичная система
Под системой счисления будем понимать правила записи натуральных чисел. Для записи чисел мы пользуемся десятичной позиционной системой. В каждой системе счисления некоторые символы служат для обозначения некоторых чисел, эти знаки называются узловыми. В нашей системе счисления узловыми являются цифры от 0 до 9. В древнеримской системе счисления узловыми являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000: I, V, Х, L, C, D, M.
Если значение числового знака зависит от его расположения в записи числа, то система называется позиционной. Из истории математики известны системы счисления, основанием которых были числа, отличные от десяти. Например, у древних вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60. У мойри (коренные жители Новой Зеландии) была принята 11-ричная система счисления. С применением некоторых этих систем счисления мы встречаемся и по сей день. Например, календарь – 12-ричная система счисления. Сутки делятся на 24 часа.
Введем понятие n-ричной системы счисления. Это система счисления, в которой любое число представимо в виде:
и для всех чисел от 0 до n – 1 ставится в соответствие n различных знаков – цифр.
В ЭВМ применяется двоичная система счисления, ее цифры {0,1}. Это связано с особенностями хранения данных в ЭВМ. Для кодирования часто применяется 16-ричная система счисления, ее цифры 0-9, A,B,C,D,E,F.
Способ перекодирования рассмотрим на примере двоичной системы.
27(10) = 11011(2).
Обратный переход:
1*16+1*8+0*4+1*2+1=16+8+2+1=27(10) .
В дальнейшем, рассматривая двоичную систему счисления, мы будем пользоваться несколькими обозначениями, в зависимости от удобства в контексте. Возможные значения {0; 1}, {И, Л}, {TRUE, FALSE}, {Да, Нет}, {«Включено», «Выключено»}, говоря об истинном или ложном значении выражения.
2. Понятие высказывания, простые и составные высказывания
Каждая математическая дисциплина имеет свою собственную область объектов, которую она изучает. Например, геометрия изучает геометрические фигуры, математический анализ изучает функции, арифметика – числа. Основным объектом изучения алгебры высказываний, алгебры логики или Булевой алгебры являются высказывания.
Мы будем понимать под высказыванием такое утверждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Когда суждение, являющееся содержанием какого-либо высказывания, истинно, то и высказывание истинно, и наоборот, если суждение ложно, то и высказывание ложно. В традиционном исчислении высказываний исследуются высказывания, которые или истинны, или ложны, и ни одно высказывание не может быть истинным и ложным одновременно.
Например: 20 > 5
Москва – столица России
Берлин – один из крупнейших городов Франции
Сколько Вам лет? – это не высказывание.
Любое высказывание будем рассматривать с точки зрения их истинности или ложности (их логического значения, пренебрегая их житейским смыслом, всеми нюансами мысли, характерными для обычной устно или письменной речи).
В логике высказываний применяется искусственный язык, с помощью которого обозначаются высказывания, формулируются законы логики данной дисциплины и частные правила действий с высказываниями. Каждое высказывание мы будем обозначать заглавными латинскими буквами, и определим формальные правила обращения с высказываниями. Считая, что если А = 0 , то высказывание ложно и наоборот. Однозначность построения формул и определения порядка действий будем достигать использованием скобок ( ) – это технические знаки.
Высказывание, обозначенное с помощью одной какой-либо буквой латинского алфавита, будем называть элементарным или атомарным высказыванием. Оно рассматривается как неразложимая единица, т.е. никакое другое высказывание не входит в него в качестве его части.
Единственное свойство элементарного высказывания, изучаемое в алгебре логики, является его истинностное значение. Никакого другого, конкретного содержания элементарное высказывание не имеет.
Заметим, что выражения типа «В том году был хороший урожай хлебов» и «Целое число n является простым» не могут считаться высказываниями, поскольку о них нельзя сказать истинны они или ложны. Дело в том, что такие выражения включают в свой состав переменную («том» и «n») и лишь в зависимости от значения этой переменной они превратятся в истинное или ложное утверждение, и только после этого станут высказываниями. Такие выражения называются пропозициональными переменными.
Основоположником формальной логики считается древнегреческий философ Аристотель, впервые разработавший теорию дедукции. Ему принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в наших рассуждениях одни предложения выводятся из других в силу определенной связи между их формой и структурой, независимо от конкретного содержания. Вторым витком развития логики стали работы ирландского математика Джорджа Буля (1815 – 1864), работавшего в университете города Корк, отца писательницы Этель Лилиан Войнич. С именем Буля связана революция в логике, она приобрела письменность, появился новый тип алгебры. Другие имена, связанные с этой теорией: Раймундо Луллий (испанский философ, монах–отшельник 12–13 вв.), Б. Спиноза, Н. Винер.