3.3. Локальная теорема Моавра-Лапласа

Если схеме испытания Бернулли, nвелико, 0<p<1,,х– ограничено, то вероятность того, что вnиспытаниях событиеАпроизошлоkраз, находится по формуле:

, где-формула Лапласа.

Свойства функции Лапласа:

Функция Лапласа является четной, т.е.. В таблице даны значения только для положительныхх. Еслих> 5, берется последнее табличное значение.

Пример:

По данным ОТК 80% всей продукции, выпускаемой заводом, стандартно. Найти вероятность того, что среди 400 взятых изделий бракованными будут 40 изделий.

Решение:

n= 400

k=40

p= 0,2

q= 0,8

3.4. Интегральная теорема Лапласа

Если в схеме испытаний Бернулли n– велико, 0<p<1, то вероятность того, что вnиспытаниях событиеАпроизойдет не менееk₁раз и не болееk₂раз, вычисляется по формуле:

;

Ф(х) – функция Лапласа, значение которой находим по таблице 2.

Ф(х) – нечетная функция, т.е. Ф(х) =-Ф(х). В таблице даны только положительные значениях.

Ф(х) = 0,5 длях > 5.

Пример:

Промышленная телевизионная установка содержит 2000 транзисторов. Вероятность выхода из строя каждого из транзисторов равна 0,0005. Найти вероятность выхода из строя от 50 до 60 транзисторов.

Решение:

k₁= 50

k₂= 60

n= 2000

p= 0,0005

q= 0,9995

3.5. Отклонения относительной частоты от вероятности

; еслиР(А) =р, тогда

-абсолютное отклонение относительной частоты события от вероятности.

Теорема:

Доказательство:

Пусть дано , тогда

Практическая работа № 1

№ 1.

Сколькими способами группа из 6 человек может расположиться:

1. В ряд.

2. За круглым столом.

Решение:

Работаем с перестановками:

Выберем произвольно одного человека и оставшиеся 5 относительно его рассадим. Это можно сделать 5! способами:

№ 2.

Сколькими способами можно распределить 1-ю, 2-ю, 3-ю премию на конкурсе, в котором участвует 20 человек.

Решение:

Выборка упорядочена 3 из 20

№ 3.

В коробке содержится 7 синих, 8 красных, 5 – белых шаров. Найти вероятность событий, при условии, что наудачу вынимаются 3 шара:

1. Все 3 шара разного цвета.

2. 2 Шара синего цвета, 1 – белого.

Решение:

I способ для 1 пункта:

В коробке 20 шаров.

Событие А– все 3 шара разного цвета.

(n – число всех равновозможных исходов)

n– число способов выбора 3 шаров из 20.

Выборка – неупорядоченная.

II способ для первого пункта:

А₁– первым вытащили синий шар

А₂– красный шар

А₃– белый шар

События зависимые.

I способ для второго пункта:

Событие В=

В₁– синий шар

В₂– синий шар

В₃– белый шар

II способ для второго пункта:

№ 4.

В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу на проверку 6 деталей 2 окажется нестандартными.

Решение:

Событие А=

(n – число всех равновозможных исходов)

Неупорядоченные выборки.

№ 5.

В ящике 10 деталей, из них 4 – окрашенные. Сборщик наудачу взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы 1 окрашена.

Решение:

I способ:

Событие А=

Событие В=

Событие С=

Событие D=

A = B + С + D

события несовместны.

(см. аналогичную задачу в лекции про сдачу студентами экзамена)

II способ:

Событие =

Т.е.: