Раздел 1. Предмет теории вероятности

1.1. Предмет теории вероятности

Ввиду невозможности проследить влияние бесконечного числа факторов, действующих на реальные явления, результаты многих явлений природы и общества являются случайными. Когда рассматривается количество однородных явлений, прослеживаются определенные закономерности.

Например, при одном бросании монеты выпадение герба является случайным событием, а при многократном бросании монеты – оно в половине случаев является закономерностью. Эти закономерности и изучает теория вероятности. При этом рассматриваемые явления рассматриваются в абстрактной форме независимо от их конкретной природы.

Под случайным явлениемв теории вероятности понимают такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному.

Например, одно и тоже тело несколько раз взвешивается на точных весах, результаты повторных взвешиваний незначительно отличаются друг от друга за счет влияния мелких второстепенных факторов (вибрация аппаратуры, положение тела на чашке весов).

1.2. Событие. Пространство элементарных событий

Определение 1.1:

Под опытомпонимают некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которой наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Если результат опыта изменяется, то говорят об опыте со случайным исходом.

Определение 1.2:

Случайным событием(событием) называется качественный результат опыта.

Примеры:

• бросание монеты – опыт,

выпадение герба – событие;

• изготовление детали – опыт,

проявление брака – событие;

• стрельба по мишени – опыт,

промах (попадание) – событие.

Любой опыт имеет ряд исходов, неразложимых на более простые события, которые называются элементарными событиями(исходами).

Определение 1.3:

Пространством элементарных исходовназывается множество элементарных событий, которые могут произойти в данном опыте.

Обозначается пространство элементарных исходов через Ω, 1 элемент исходов опыта – черезω.

Пример:

Опыт состоит в бросании 1 монеты:

Пример:

Бросание 2 монет:

Пример:

Опыт состоит в подбрасывании монеты до тех пор, пока не выпадет герб:

(до бесконечности)

Пример:

Опыт состоит в подбрасывании 2 игральных костей:

36 штук

Определение 1.4:

Событиемназывается любое подмножество элементарных исходов из.

Обозначаются события большими буквами латинского алфавита: А,В,Си т.д.

Пример 1:

Опыт состоит в бросании 2 монет.

Событие А– выпал только 1 герб:

Событие В– выпал хотя бы один герб:

1.3. Действия над событиями

Рассмотрим пространство элементарных исходов .

Отношения между событиями можно рассмотреть как отношения между соответствующими подмножествами множества .

Определение 1.5:

Суммой событий А и Вназывается событиеА + В, состоящее в наступлении хотя бы одного событияАилиВ.

Событие А + Всостоит из элементарных исходов пространства, принадлежащих событиюАили событиюВ.

Определение 1.6:

Произведением событий А и Вназывается событиеАВ, состоящее в одновременном наступлении событийАиВ.

Событие состоит из тех элементарных исходов, которые есть и вА и вВ.

Определение 1.7:

Разностью событий А и Вназывается событиеА\В, которое происходит тогда и только тогда, когда событиеАпроисходит, аВ– не происходит, т.е. состоит из тех элементарных исходов, которые принадлежат событиюАи не принадлежат событиюВ.

Пример:

Опыт состоит в одном бросании игральной кости:

Событие

Событие

Определение 1.8:

Событиеназываетсядостоверным, если оно обязательно происходит в условиях данного опыта.

Пространство является достоверным событием.

Определение 1.9:

Невозможным событиемназывается событие, которое не может произойти в условиях данного опыта.

Обозначается Ø– как пустое множество.

Пример:

7 в игральных костях.

Определение 1.10:

СобытиеĀназываетсяпротивоположнымсобытию А, если оно наступает тогда, когда событиеАне наступает.

Пример:

Определение 1.11:

События АиВназываютсянесовместными, если они не могут произойти одновременно.

Пример:

Бросается 1 игральная кость:

-несовместные

Определение 1.12:

Говорят, что события А₁, А₂, …, А_nобразуютполную группусобытий, если выполняются условия:

1. Они являются несовместными Ø,.

2. Хотя бы одно из событий А₁,А₂, …,А_nобязательно наступит, т.е.

Пример:

Из урны с 2 белыми и 3 черными шарами извлекается 2 шара. Найти полную группу событий.

А₁,А₂, иА₃образуют.