6. Доказать формулу .

1) Найдем модуль вектора кривизны. Для этого рассмотрим треугольник образующийся векторами . Угол между векторами наз. углом смежности.

<(

Треугольник РАВ явл. равнобедренным (РА=РВ=1)

(sinx)

.

2) Используя формулу можно показать, что кривизна окружности радиусаR равна .

СМ. РИС. В КОНСПЕКТЕ Касательная общая и для кривой и для окружности. Можно построить бесконечно много окружностей, которые проходят через две бесконечно близкие точки кривой. Существует только одна окружность проходящая через 3 бесконечно близкие точки. Кривизна точки Р равна кривизне соприкосающ. окружности. Центр окружности наз. центром кривизны, а радиус окружности- радиусом кривизны. обознач. радиус кривизны греческой буквой .

, где -радиус кривизны.

3)Плоскость РАВ находится и образованна касательной точкой достаточно близкой к точке Р, поэтому предельное положение этой плоскости- есть соприкасающиеся плоскости. Вектор средней кривизны находится в плоскости АВР, а предельное положение вектора средней кривизны есть вектор кривизны К. Следовательно вектор кривизны лежит в соприкасающейся плоскости.

Рассмотрим =90=90(при).

= 90,.

Т.к.илежит в соприкас.плосости, то вектор кривизны направлен вдоль главной нормали, а ед.вектор главной нормали обозн.. Т.к. модуль вектора =, то. Следовательно.

7. Естественный способ задания движения точки.

1)Для того чтобы задать движение точки естеств. способом, необходимо: а)задать траекторию ее движения относит. выбранной с-мы координат; б) на траектории следует выбрать начало отсчета и задать направление движения; в)задать закон движения точки вдоль траектории в виде s=s(t), где s-расстояние от точки до начала отсчета на траектории, измеренное вдоль траектории, при этом ф-ция s(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

2)Скоростью точки в данный момент времени наз. предел средней скорости точки при ∆t→0, т.е.

Вывод формулы:

т.к.

1)↑↑→касат., провед. в точкеP

2)

|∆r|≈∆s

…==>

3) Отношение ∆V/∆t наз. средним ускорением точки за промежуток времени ∆t. Ускорение точки:

Вывод формулы: мы знаем, что , где--нормальное ускорение,-- касательное ускорение

- полное ускорение

8. Задание движения точки в полярных координатах.

1)Зададим систему отсчета и расстояние от начала с-мы до точки r=r(t), 𝞿=𝞿(t), .

направлен в сторону увеличения угла 𝞿. Выразим вектора ичерезi и j.

2)Выводим ф-лу для нахож-я скорости в пол-х к-х:

Продифференцируем эти равенства по времени

3)Найдем ускорение:

9. Матрица ориентаций. Связь между координатами вектора в различных системах отсчета

1)Матрицей ориентации наз-ся матрица А сост-ую из элем-ов , гдеопределяеся ф-ой:

2) Расм. вект. Р с началом в точке О, пусть его разложение по ортам не штрихованной системы координат имеет вид: =(1) Разл по штрихованым ортам системы корд им вид: =(2) Сравнивая (1) и (2) получаем что:(3) .Умножив обе части равенства на векторполучим;, т.ки

Затем проделам туже операцию для е2 и е3 получим систему

3) Запишем эту систему в матричной форме:

Р=А(4)

Умножив равенство (3) на

Используя (5) тогда (4) привет вид Р=(А, А, условие (6) явл. Не обходимым условием того что бы матрицы А могла бытьматрицей ориентаций.

4)Матрица ориентаций в случае поворота ??? начинается с