Частные случаи подстановок.

Рассм. подстановки, кот. быстрее приводят к цели в нек. случаях, чем предыдущая подстановка.

1. ∫R(sinx, cosx)dx, где R – нечетная ф-я относ-но sin х, тогда делаем подстановку cos x = t и под знаком ∫ выполняем все действия, заменяя х на t.

2. Если R- нечетная ф-я относ. cos x, то sin x = t.

3. ∫sim^mx * cosⁿx dx

а) из m, n – явл. нечетными, если n- нечетное, то примен. подстановка х=t. Если m – нечетное, то примен. подстановка cos x = t.

б) оба показателей m, n – четные полож. числа. В этом случае степень подынтгр. выраж-я пониж. С помощью тригон. ф-л:

sin²x = (1-cos²x)/2, cos²x = (1+cos2x)/2, sinx * cosx = 1/2 sin2x

Интегралы вида ∫tgmx dx, ∫ctgmx dx

Для нахождения этих интегралов примен. ф-лы, с пом. кот. помлед-но понижается степень m.

tg²x = (1/cos²x) - 1, ctg²x = (1/sin²x) - 1

1/cosx = secx, 1/sinx = cosecx

tg²x = sec²x - 1, ctg²x = cosec²x - 1

Замечание.

Если m-степень частная, то удобно делать подст. tg x = t., тогда x = arctg t.

dx = dt/ (1+t²) и интеграл сводится к интегралу от непр. рацион. дроби.

Интегралы вида ∫ sin mx * cos nx dx, ∫ cos mx * cos nx dx, ∫ sin mx * sin nx dx/

В этом случае примен. след. тригон. функции:

sin mx * cos nx = ½ (sin (m+n) + sin (m-n))

cos mx * cos nx = ½ (cos (m+n) +cos (m-n))

sin mx * sin nx = ½ (cos (m-n) – cos (m+n))

Эти формулы дают нам произведение предс. в виде суммы.

Интегрирование нек. иррациональностей.

Интегралы вида ∫R (x, ^m√ax+b )

Такие интегралы наход. подстановкой ax+b = t^m.

Интегралы вида ∫ ((Mx+N)dx)/((x-α) √ax²+bx+c )

x - α = 1/t

dx = -1/t² dt

Тригонометрические подстановки.

∫R (x, √a²-x² ) dx, ∫R (x, √a²+x² ) dx

Чтобы избавиться от корня и привести интегралы к рацион. тригон. виду, примен. подстановки.

Подстановка для первого: x = a sint (x = a cost)

Подстановка для второго: x = a tgt

Если под знаком  содерж. кв. трехчлен, то выделяем полный квадрат.

Существует ряд интегралов, не берущ. в элемент. ф-ях, т.е. для подынтг. ф-и нельзя найти первообразную:

∫(sinx/x) dx - интегральный синус

∫(cosx/x) dx - интегральный косинус

∫е^{-x^2} dx - интеграл вероятности

∫(lnx/x) dx и др.

7

y = f(x) – непрерывна на отрезке [a;b].

аАВв – криволинейная трапеция.

Вычислим площадь трапеции: Q - ?

Разобьем отр. [a;b] точками на частичный отрезки произ. образом. X₀ = а, х₁,х₂…x_n = b.

Длину каждого их этих отрезков обозначим через Δx_i=(i=1,2,…,n), Δx₁=x₁-x_o, Δx₂=x₂-x₁… Δx_i=x_i-x_i-1

На каждом из частных отрезков построим прямоуг-ки с основаниями Xi с высотой f(ξ_i)

ΔS_i = Δx_i * f(ξ_i), где i=1,2,…,n - площадь каждого из прямоугольников.

Сумма всех площадей:

n

i=1

n

i=1

∑∆S_i ≈ 0 = ∑ f(ξ_i) * ∆S_i

Очевидно тем точнее, чем больше n (мелк. отрезков), т.е. сумма, стоящая слева этого рав-ва назыв. интегральной суммой на отрезке [а;b].

Значение этой суммы зависит как от способа деления отрезка [a,b] на частичные, так и от выбора точек . Очевидно, точное значение искомой площади мы можем получить, если в рав-ве перейти к пределу при n или (Xi).

Т. обр.

n

i=1

Q

∆x_i→0

= lim ∑ f(ξ_i) * ∆x_i

О

b

a

пределение. Если при любых делениях отрезка [а;b] таких, что Xi и при любом выборе точек _i на этих отрезках, интегральная сумма  к одному и тому же пределу, то этот предел назыв. опред. интегралом от ф-и y= f(x) на отрезке [a;b] и обозначают ∫ f(x) dx

b

a

n

i=1

Т

∆x_i→0

.о. ∫ f(x)dx = lim ∑ f(ξ_i) - ∆x

Г

b

a

еометрически опред. интеграл – площадь кривол. Трапеции, огран. Сверху ф-ей f(x), прфмыми х=а, х=b и осью ОХ.

Q = ∫ f(x)dx

Замечание.

Опред. интеграл в отличие от неопред. есть число, зависящее от вида подыинтегр.ф-и, пределов интегр-я, не зависящее от обозн. переменной интегрир-я.