1

Определение. Ф-я F(x) назыв. первообразной для ф-и f(x) на нек. множестве Х, если в каждой точке этого рав-ва выполн. условие:

F'(x) = f(x)

Теорема1.

Если ф-я f(x) имеет 2 первообразные F₁(x) и F₂(x), то разность м-у ними равна пост. числу, т.е.

F₁(x) - F₂(x) = C, где С- пост.

Доказательство: т.к. F₁ и F₂ по условию первообразные, то имеет место два равенства:

F₁'(x) = f(x)

F₂'(x) = f(x)

Обозначим F₁(x) - F₂(x) = φ(x), продифференцируем последнее равенство, используя два неравенства: F₁'(x) - F₂'(x) = f(x) - f(x) = 0.

Т.о. φ'(x) = 0, видно, что функция φ(x) постоянна, воспользуемся теоремой Лагранжа для φ(x), х[a,b]: φ(x) - φ(a) = φ'(ξ)(x - a) x<ξ<a

Т.к. φ(x) - φ(a) = 0 → φ(x) = φ(a) в любой точке промежутка Х, то φ(а) = С - постоянная, получаем, что F₁(x) - F₂(x) = C, теорема доказана.

Определение. Если ф-я f(x) имеет первообразную F(x), то выраж-е вида F(x)+C назыв. неопред. интегралом от ф-и f(x)и обозн. ∫f(x)dx

Т.о. ∫f(x)dx = F(x) + C, если F'(x) = f '(x), здесь

f(x) - подинтегральная функция.

f(x)dx - подинтегральное выражение.

Операция нахождения первообразной для данной ф-и назыв. Интегрированием ф-и.

Теорема 2. (существования неопределенного иноеграла)

Если подинтерг. ф-я f(x) непрерывна на нек. множестве Х, то для неё существует первообразная F(х), а след-но и неопред. интеграл

2

Непосредственно из опред. интеграла следует:

1. Если F(x) = f(x), то производная от неопред. интеграла равна подынтегр. ф-и, т.е. (∫f(x)dx)' = (F(x) + C)' = f(x)

2. Дифференциал от неопред. интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d (∫f(x)dx) = f(x)dx

d (∫f(x)dx) = (∫f(x)dx)' dx = f(x)dx

2. Интеграл от дифф. некоторой ф-и равен этой ф-и + произв. постоянная, т.е.

∫d F(x) = F(x) + C

f(x)dx = d F(x), откуда ∫d F(x) = F(x) + C

Док-во следует из почленного дифф. обоих частей по Х.

Замечание. Знаки дифференциала и интеграла, стоящие рядом, как бы сокращают друг друга.

2. Постоянный множитель вынос. за знак неопр. интеграла, т.е.

∫α f(x)dx = α ∫f(x)dx

Можно док-ать, если продифф. Обе части по Х и исп-ть св-во

(∫αf(x)dx)' = α (∫f(x)dx)', получаем слева и справа α*f(x) = α*f(x)

На осн. следует  f(x) = d f(x).

2. Неопр. интеграл от алгебр. суммы 2-х и более ф-ий равен такой же сумме неопред. интегралов – слагаемых, т.е. ∫(f₁(x) ± ∫f₂(x))dx = ∫f₁(x)dx ± ∫f₂(x)dx

Док-во аналогично предыдущей части.

3

Рассмотрим ∫f(x)dx. Пусть мы сразу не можем найти первообразную для ф-и f(x). Заменим перем. х другой перм. t по формуле х=(t), где (t) – дифф. ф-я на некот. промежутке Х, тогда очевидно: dx = ’(t)dt.

Таким. обр. ∫f(x)dx = ∫f[φ(t)]*φ'(t)dt

Доказательствово.

Найдем произв. от перем. t от левой и право частей рав-ва.

Имеем слева: Имеем справа:

(∫f(x)dx)' = (∫f(x)dx)'_x* x'_t = (∫f[φ(t)]* φ'(t)dx)' =

= f(x)* φ'(t) = f[φ(t)]* φ'(t) = f[φ(t)]* φ'(t)

Т. обр. произв. слева и справа равны  на основании Т. Лагранжа левые и правые части рав-ва одинаковы.

Доказанная ф-ла показ., что дост. вып-нить замены перем. в подынтегр. выр-нии. Причем часто вместо замены x=(t) провод. замена t=(x), где (х) - дифф-я функция от х.

Удачная замена перм. часто позволяет упростить интеграл, а иногда свести его к табличному.