Тема 8 конечные автоматы

8.1 Детерминированные функции

8.2 Графическое задание детерминированных функций

8.3 Ограниченно-детерминированные функции

8.4 Каноническое уравнение ограниченно-детерминированных функций

Автоматом называют дискретный преобразователь информации, способный принимать различные состояния, переходить под воздействием входных сигналов из одного состояния в другое и выдавать выходные сигналы.

Если множество состояний автомата, а также множество входных и выходных сигналов конечны, то автомат называют конечным автоматом. Все реальные автоматы являются конечными.

Информацию, поступающую на вход автомата, и преобразующую входную информацию принято кодировать конечной совокупностью символов. Эту совокупность называют алфавитом, отдельные символы, образующие алфавит, – буквами, а любые конечные упорядоченные последовательности букв данного алфавита – словами в этом алфавите.

Автоматы функционируют в дискретные моменты времени, которые обозначаются натуральными числами t= 0, 1, 2,…. В каждый момент дискретного времени на вход автомата поступает один сигнал (буква), фиксируется определённое состояние автомата и с выхода снимается один сигнал. Реальные автоматы могут иметь, вообще говоря, несколько входов и выходов. В некоторых случаях для решения задач синтеза удобно заменить такие автоматы автоматами с одним входом и одним выходом. Для этого достаточно закодировать соответствующим образом входные и выходные сигналы исходного алфавита. Если, например, автомат имеет два входа, на каждый из которых подаются сигналы 0 или 1, то все возможные комбинации входных сигналов можно закодировать четырьмя буквами

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Процесс дискретного преобразования информации автоматами можно описать с помощью детерминированных функций.

8.1 Детерминированные функции

Обозначим через ={0, 1, …,k-1}, гдеk– некоторое натуральное число, а черезмножество всехk-значных последовательностейa таких, чтоа = {a(1),a(2),…,a(t), …}, где a(i)для всехI= 1, 2,… .

Обозначим через множество всех функцийy=f , определённых на наборах , гдеи принимающих значение из. Функции изпреобразуют наборыk-значных последовательностей вk-значные последовательности. В множествовключим также все последовательности из, рассматривая их как функции, зависящие от пустого множества переменных, т. е. как константы.

С помощью векторной записи функции от nпеременных изможно свести к функции от одной переменной. Обозначим набор переменных через Х, вместоy=fбудем писатьy =f(Х). При этом значение переменной Х, есть вектора = компонентами которого являются последовательности из,. Будем рассматривать акак последовательность векторов, где.

Таким образом, мы будем считать, что выполняется тождество: =

=.

Лемма 1Число наборов, гдеравно.

Итак, функцию y=fс помощью векторной записи можно свести к функцииy=, гдеN=. Таким образом, изучение функцииy=fиз можно свести к изучению функции от одной переменной из, гдеN=.

Определение 1 Функцияy=изназывается детерминированной, если каково бы ни было число t и каковы бы ни были последовательностиаиbтакие, чтоa(1)=b(1), a(2)=b(2), … a(t)=b(t)значения функцийα, β, где α=,β=представляют собой последовательности, у которых тоже совпадают первыеt членов, т. е. α(1) = β(1), α(2) = β(2), …, α(t) = = β(t).

Множество всех детерминированных функций обозначим через .

Из определения детерминированной функции следует, что значение α(t)(α=) зависит только от значения первых tчленов входной последовательности а, т. е.а(1), а(2), …, а(t),следовательноα(t)=φ(а(1), а(2), …, а(t)).

Приведём примеры как детерминированных, так и недетерминированных функций.

Пример 1 Рассмотрим функциюy=, определённую следующим образом

Покажем, что данная функция недетерминированная. Действительно, возьмём две входные последовательности и. Тогдаи. Следовательно, данная функция недетерминированная.

Пример 2 Рассмотрим функциюиз, определённую следующим образом.Здесь выходная последовательность – почленная конъюнкция входных последовательностей. Очевидно, что.

Пример 3Рассмотрим функциюz=x +y, осуществляющую сложение 2-значных последовательностей в двоичной системе с бесконечным числом разрядов. Для этого используется обычный алгоритм сложения двух чисел столбиком

Очевидно, что z(t)определяется по первымtслагаемых, т. е.x +y.

Детерминированная функция может быть проинтерпретирована следующим образом. Пусть мы имеем некоторый «дискретный преобразователь», в котором существуетn входови один выход.

На входы в моменты времени t=1,2,…,m, … подаются входные последовательности

И в эти же моменты t на выходе возникает выходная последовательность, причем. Очевидно, что в дискретном преобразователе значенияα(t) зависит только от значений входных последовательностей в момент времени1,2,…,tи не зависит от значений в будущие моменты времени. Поэтому преобразованиеесть детерминированная функция.