4. Построение математической модели

Для построения модели целесообразно вначале записать все ограничения в виде системы линейных уравнений и неравенств, где все обозначения и символы структурной модели следует заменить соответствующими рассчитанными технико-экономическими

коэффициентами и константами. Далее надлежит поострить таблицу -матрицу экономико-математической модели. По столбцам матрицы помещаются технико-экономические коэффициенты, относящиеся к конкретным переменным, по строкам ставятся коэффициенты, относящиеся к определенным ограничениям. Также имеется строка целевой функции. Чаще всего исчисляется как сумма произведений коэффициентов целевой функции и значений переменных. В матрице также имеются два столбца: в одном указывается тип ограничений, в другом объем, т.е. постоянная величина для конкретной модели и имеет разный экономический смысл (объем ресурса, количество тракторов и т.д.).

5. Создание расчетной компьютерной модели и ее решение Компьютерная модель создается путем переноса данных разработанной

модели на электронные носители. Существует ряд специальных программ для решения экономико-математических моделей, таких как MATLAB, SIMPL, LP и т.д. Однако создание расчетной компьютерной модели, в большинстве случаев может быть реализовано с помощью MS EXCEL.

Сегодня, как правило, разработаны стандартные алгоритмы для численного решения типовых задач. Благодаря высокому быстродействию современных ПК возможно проведение многочисленных модельных экс­периментов, т.е. изучение поведения модели при некотором изменении различных условий.

6. Анализ результатов решения и их практическое применение

На этом этапе решается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени и возможности их практической применимости.

Проводиться оценка полученных значений переменных и целевой функции, соблюдения условий задачи. Также должна быть проведена проверка адекватности модели тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных (верификация модели). Адекватной будем называть модель, с помощью которой успешно достигается поставленная цель. Чтобы убедиться, что модель достаточно адекватна реальности, необходимо произвести сопоставление полученных результатов с фактическими экономическими результатами деятельности объекта (процесса).

Данный этап должен показать практическую ценность проведенных расчетов и выявить недостатки модели (если они есть), а также направления ее совершенствования. Практическое применение полученных результатов возможно в том случае, если модель соответствует поставленной цели и условиям, а также, если решение модели целесообразно с экономической точки зрения.

Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи. Однако вследствие обнаружения в процессе моделирования недостатков предшествующих этапов могут иметь место возвратные связи этапов. Например, выясняется, что необходимая информация отсутствует, то приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы приспособиться к доступной информации.

Моделирование представляет собой циклический процесс, т. е. за первым шестиэтапным циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте (процессе) расширяются и уточняются, а первоначально построенная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах.

Лекция №4. Задачи линейного программирования.

1. Понятия и общая запись задачи линейного программирования.

2. Транспортная задача линейного программирования.

3. Двойственная задача линейного программирования и двойственные оценки

1.

Линейное программирование - это дисциплина, изучающая методы нахождения наименьшего (или наибольшего) значения линейной функции нескольких переменных, при условии, что последние удовлетворят конечному числу линейных уравнений или неравенств.

Линейная модель - модель, отображающая состояние или функционирование системы таким образом, что все взаимозависимости в ней линейные. Соответственно она формулируется в виде системы линейных уравнений и неравенств.

Применение методов линейного программирования при решении экономико-математических задач возможно при соблюдении следующих требований:

1. Решение задачи должно иметь некоторый экономический смысл.

1. Условия задачи должны быть сформулированы линейными соотношениями, т.е. значения переменных должны удовлетворять некоторой системе линейных уравнений или неравенств.

2. Значения переменных задачи должны быть неотрицательными.

2. Необходима четко сформулированная цель задачи, выраженная некоторой линейной функцией, которая в результате решения принимает мин или мах значение.

Общая математическая формулировка задачи линейного программирования выглядит следующим образом

1. Линейная целевая функ. Подлежит максимизации или минимизации: п

Z(max, min) = ЕС/* Xj, j=l

математических преобразований. Для решения задач линейного программирования существует универсальный симплексный метод, имеющий множество модификаций. Симплексный метод - это метод упорядоченного перебора опорных планов.

Матричная запись экономико-математической модели.

Номера ограни­чений	К		Номера переменных					Тип ограничений		Объем ограничений
		x2				Xn
1	ац			ац		ain	<		bi
2	azi	&22		a2i		a2n	=		b2
i	a;i	ai2		aij		ajn	>		bi
m	ami	am2		ami		amn	<		bm
С	с,	c2		q		Cn			min, max

Описание в Лекции №3, четвертый этап моделирования

2. Частным случаем задач линейного программирования является транспортная задача. Классическая транспортная задача впервые была сформулирована Ф.Хичкоком в 1941 г. Она направлена на минимизацию транспортных расходов и изначально применялась для оптимизации перевозки грузов. Сегодня транспортная задача применяется:

1. В текущем планировании (организация севооборота)

2. Для оптимизации перспективного планирования

3. Может быть составной частью сложных оптимизированных задач Формальным признаком транспортной задачи является то, что каждая

переменная входит лишь в два ограничения, причем с коэффициентами, равными единице. Все переменные ТЗ выражаются в одних и тех же единицах измерения. Критерием оптимальности ТЗ является минимум общих расходов по перевозке или пробега в тонно-километрах. Линейная транспортная задача возникает в том случае, если критерий оптимальности прямо пропорционален значениям переменных (транспортных потоков). Структурная запись транспортной задачи:

п

Целевая функция: Z■ = Ц С у * Xj —> min

где п- общее количество переменных задачи;

j- порядковый номер переменной 0=1,2, . . . п); Cj- коэффициент целевой функции в расчете на единицу j-й переменной;

Xj- переменная задачи.

2. Условия задачи (ограничения) представленные системой линейных уравнений и неравенств:

п

j=l n

I Vy Xj >q_t

j=l n

I = _Vij Xj = q_f j=l

где, ay- коэффициенты, характеризующие нормы затрат i-ro вида ресурсов в расчете на единицу j-й переменной;

в; - объем i-ro вида производственных ресурсов;

Vjj- коэффициенты, характеризующие нормы выхода i- го вида продукции в расчет на единицу j-й переменной ;

q_r гарантированный объем производства i-ro вида продукци

3. Ограничение неотрицательности переменных: Xj>0 Представленная базовая модель лежит в основе построения всех

математических моделей экономических задач, решаемых методами линейного программирования.

В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. В ряде случаев нелинейность взаимозависимостей может приводиться к линейной форме путем m

Ограничения по запасам ресурса: Z Ху = Aj, i = 1,..., m

i=l

n

Ограничение по потребностям: Z Ху = Bj, j = 1,..., n

.И m n

Условие баланса: I A, = X Bj

i=l j=l

Условие неотрицательности: X у > 0, i = 1,..., m, j = 1,...., n

где, m - количество источников ресурса; n - количество пунктов потребления ресурса; Ху - кол. ресурса, транспортируемое от i-ro источника к j-му потребителю; Су - ст-ть транспортировки ед. ресурса от i-ro источника к j-му потребителю; Aj - запасы ресурса в источниках; Bj - потребности в ресурсах. Типы транспортных задач:

1. Закрытая задача (если общий запас ресурса у поставщиков и общий спрос на него у потребителя равны, условие баланса)

2. Открытая задача с превышением потребностей

3. Открытая задача с превышением ресурсов (в этом случае возможен вывоз ресурса меньше наличия Е Xij < Ai (i=T,...,m)):

ТЗ известны в двух постановках: матричной и сетевой. Транспортная задача в данной постановке решается на матрице, в строках которой показываются поставщики, в столбцах - получатели, а в клетках (пересечениях) - корреспонденции между ними.

3. Каждой задаче линейного программирования соответствует двойственная задача. Построение и решение двойственной задачи является одним из способов экономического анализа задач линейного программирования. Матрица двойственной задачи строиться путем транспонирования матрицы прямой задачи. Столбцы матрицы прямой задачи становятся строками двойственной, а строки столбцами. Прямой задачей, как правило, считается задача, которая обеспечивает расчет оптимального плана. Двойственная задача обеспечивает расчет оптимальных оценок.

Пусть задача ЛП представленная на слайде №3 прямая, тогда двойственная по отношению к ней строится по следующей схеме:

1. Каждому i-му ограничению прямой задачи соответствует двойственная переменная Y_it Это - оценки ресурсов, (в прямой задаче было m ограничений, следовательно в двойственной будет m переменных, т.е. i = 1,2,...,m)

2. Каждой переменной Xj, j =1,2,...п прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи (т.е. будет п ограничений). В качестве коэффициента при переменной Yj в j-м ограничении двойственной задачи используется i-ый коэффициент j-ro столбца матрицы.

3. Коэффициенты Cj прямой задачи становятся константами (т.е. правой частью) ограничений двойственной задачи. Правые части прямой задачи b_s становятся коэффициентами при переменных Yj в выражении целевой функции.

4. Типы ограничений и направление оптимизации для двойственной задачи определяются как противоположные типам ограничений и направлению оптимизации прямой задачи. Т.е если прямая задача является задачей на min, то двойственная к ней будет задачей на max, и наоборот. Если ограничение прямой задачи - это ограничение типа «>», то в двойственной оно будет «<».

Таким образом, двойственная задача к задаче, представленной на

Теорема двойственности: Если взаимодвойственные задачи имеют допустимые решения, то они имеют и оптимальное решение. Значение целевых функций в прямой и двойственной к ней задачи будет одинаковым:

n m

max X С j * Xj = min £ bj * Yj j=l ' i=l

Отсутствие данного равенства свидетельствует о неоптимальности плана.

Переменные Yj оптимального решения двойственной задачи

называются двойственными оценками прямой задачи или объективно-обусловленными оценками. Экономическое содержание двойственных оценок определяется содержанием критерия оптимальности и того фактора или условия производства которое они оценивают. Единица измерения ДО та же, что и у целевой функции. Двойственные оценки по ресурсам показывают, насколько увеличится или уменьшится значение целевой функции, при увеличении или уменьшении объеме ограничения на единицу. По продуктам действие ДО противоположное: увеличение ограничения ведет к уменьшению значения целевой функции, а уменьшение - к увеличению. Если ДО по ресурсам или продуктам равны нулю, то изменение объема ограничения на единицу не повлияет на значение целевой функции, т.к. ресурс по оптимальному плану имеется в избытке (т.е. используется не полностью), а продукт произведен сверх плана.

Для двойственных оценок характерна определенная устойчивость к изменению параметров правой части ограничений модели и неустойчивость к изменению технико-экономических коэффициентов и коэффициентов целевой функции. При этом изменения параметров могут допускаться в определенных пределах. Данное свойство ДО позволяет использовать их при анализе оптимальных решений с целью обоснования приемлемости и надежности рассчитанных оптимальных планов.

Двойственные оценки рассчитываются с учетом различных условий задачи отражающих особенности объекта моделирования и конкретной модели.

Лекция №8. Принятие решений в условиях неопределенности

1. Понятие неопределенности и риска.

2. Понятие «Игры с природой»

1. Основные критерии выбора лучшей стратегии в условиях неопределенности

1.

В практике экономистов часто приходится принимать решения, выбирать стратегии развития в условиях неопределенности и риска. Риск в экономике связан с возможностью наступления неблагоприятных событий, которые в итоге наносят тот или иной ущерб производству.

Риск характеризуется двумя атрибутами:

• вероятностью наступления некоторого неблагоприятного события;

• размером ущерба в результате данного неблагоприятного события. Сельскохозяйственное производство, конечно же, подвержено

предпринимательскому риску, но преобладающим здесь является погодный риск.

Риск - это возможность экономической потери (ущерба), обусловленная вероятностью неблагоприятных событий и проводимой производственно-финансовой политикой и хозяйственными решениями, принимаемыми в рисковых ситуациях.

Рисковая ситуация - это ситуация принятия управленческого решения, реализация которого может привести к различным последствиям. Суть рисковой ситуации состоит в том, что если условия осуществления планируемой хозяйственной операции окажутся благоприятными, то она принесет существенный доход. Если же условия окажутся неблагоприятными, то следует ущерб. Неопределенность исхода обусловлена тем, что в момент принятия управленческого решения информация об условиях, в которых будут осуществляться действия, отсутствует или является неполной.

В теории принятия решений различают следующие типы ситуаций по степени полноты информации об условиях, в которых будет происходить реализация принятого управленческого решения:

• ситуации полной определенности. Все исходные параметры, принятые при разработке решения, не подвержены случайным изменениям, т.е. остаются неизменными. Результат однозначно определяется принятым вариантом плана. При полной определенности нет риска. Выбор оптимального планового решения в этом случае осуществляется с помощью детерминированных оптимизационных моделей.

• ситуации риска. Принятое решение может привести к одному из множества различных исходов. При этом вероятности исходов известны или могут быть определены на основе анализа статистических данных или экспертных оценок. В этом случае для количественной оценки риска применяются числовые характеристики случайных величин -математическое ожидание, дисперсия, коэффициент вариации. Выбор оптимального управляющего решения при этом осуществляется с помощью стохастических оптимизационных моделей.

• ситуации неопределенности. Выбранное управленческое решение может привести к одному из возможных исходов, но вероятности этих исходов неизвестны, не могут быть определены или не имеют смысла. Такие ситуации характеры для инновационной деятельности. Для количественной оценки риска и принятия решений в этих условиях может применяться специальный математический аппарат, в частности игры с природой.

2.

Теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта или неопределенности получила название - Теория игр.

Игра - это математическая модель конфликтной ситуации. Т.е. ситуации, в которой сталкиваются интересы двух или более конфликтующих (конкурирующих) сторон, преследующих различные цели.

Если в игре рассматривается две конкурирующих стороны, то игра называется парной, если игроков несколько - множественной. Наибольшее практическое значение имеют парные игры. Под игрой понимается последовательность действий игроков, которая осуществляется по четким правилам, определяющим возможные варианты действий игроков, объем информации каждой стороны о действиях другой и результат игры при каждой последовательности ходов. В этом случае имеется в виду, что противник действует разумно, стремясь уменьшить наш выигрыш. Целью каждой стороны игрока является максимизация выигрыша (или минимизация проигрыша). Эта цель достигается применением игроками оптимальных стратегий.

Стратегия - это совокупность правил, по которым игрок в сложившейся ситуации определяет выбор своего действия. Под оптимальной стратегией понимается такая стратегия игрока, которая при многократном повторении игры позволяет получить максимальный средний выигрыш, если второй игрок придерживается своей стратегии. Задачей теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока.

Выбор оптимальной стратегии осуществляется игроками в условиях отсутствия информации о действиях и стратегии противника. Это означает, что при выборе своей стратегии первый игрок не имеет сведений о том, какую стратегию выберет второй игрок. Такие игры называются стратегическими.

В общем виде матричная игра задается в виде матрицы А = (ау):

	Вх	Вг		В„
Ах	а\\	an		а\ „
А2	«21	ац
	. . .
Ат	@т п			@т п

Матрица игры называется платежной матрицей. Строки матрицы соответствуют стратегиям A_t игрока А, столбцы - стратегиям В_{ игрока В. Игрок А имеет т стратегий (А_ъ А₂„. . ., А_т), игрок В имеет п стратегий (В_ъ

В₂„. . ., В_т). Элемент a_tj матрицы А обозначает выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию A_h а игрок В выбрал стратегию В/, и наоборот, элемент об­означает проигрыш игрока В, если он выбрал стратегию Bj, а игрок А -стратегию А₍.

В экономической практике распространены ситуации, когда неопределенность обусловлена не действиями разумного противника, а отсутствием или недостаточностью информации об условиях, в которых будет происходить реализация принятого управленческого решения. Эти условия формируются под воздействием совокупности внешних неопределенных, неконтролируемых факторов: погодно-климатические явления, инфляция, рыночная конъюнктура, политические и социальные условия и др. В теории принятия решений такой комплекс неопределенных, незаинтересованных факторов называют природой, а принятие решений в такой ситуации - играми с природой. В этом случае отсутствует элемент сознательного противодействия нашим планам и стратегиям.

Условия игры с природой, как и в парных стратегических играх, задаются в виде платежной матрицы, только в роли одного игрока выступает незаинтересованная сторона, т.е. «природа».

Si, S₂,. . ., S_n - состояния природы;

В случае полного отсутствия данных о вероятностях возможных состояний природы вся информация о ситуации заключена только в матрице выигрышей А =| ay I .

Существует другой способ задания матрицы игры с природой: не виде матрицы выигрышей, а в виде матрицы рисков R Ч Гу j или матрицы упущенных возможностей. Матрица рисков может быть построена как по условиям задачи, так и на основе матрицы выигрышей: Гц = (3, - щ, где Pj = max ay, т.е. максимальный выигрыш, г у - размер риска при i-й стратегии игрока А и j-м состоянии природы. Элементы г у матрицы рисков представляют собой разность между выигрышем, который получил бы игрок А, если бы он знал состояние природы Pj , и выигрышем, который он получит в тех же условиях, применяя стратегию А_ь

3.

Подходы к принятию решений в играх с природой зависят от степени неопределенности состояний природы. Возможны следующие случаи:

• информация о вероятностях состояний природы полностью отсутствует (ситуация полной неопределенности);

• имеется объективная или экспертная информация о вероятностях возможных состояний природы (ситуация риска).

При выборе наилучших стратегий при отсутствии информации о вероятностях состояний природы используются следующие критерии.

Критерий максимакса - определяет в качестве наилучшей стратегию, при которой достигается наибольший из всех возможных выигрышей:

М = max max ay

i j

Это критерий крайнего оптимизма, он полностью игнорирует риск. Оптимальным признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш по элементу, наибольшему в каждом матрице. В некоторых случаях применение данного критерия может быть оправданным, например, если риск решения не является существенным, или если достижение цели возможно только при условии максимального риска (сохранение бизнеса).

Максиминный критерий Вальда. Он означает, что лучшей стратегией является та, которая дает наибольший выигрыш при самом неблагоприятном состоянии природы. Согласно этому критерию в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая при любых состояниях природы выигрыш не меньший, чем

W = max min

i j

Данный критерий отвергает всякий риск. Его часто называют критерием крайнего пессимизма. С позиции критерия Вальда «природа» рассматривается как агрессивно настроенный и сознательный противник.

Критерий минимального риска Севиджа. Согласно критерию

Севиджа выбирается стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации, т.е. такая, которая гарантирует минимум максимально возможного риска:

S = min max ry

i .1

Т.о. при этом критерии выбор оптимальной стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Валь да, только игрок исходит из матрицы риска, а не из матрицы выигрышей. Критерии Севиджа и Вальда основаны на самой пессимистической оценке ситуации, при этом риск отвергается.

Критерий Лапласа - основан на гипотезе равной вероятности состояний среды. По этому критерию оптимальной стратегией признается та стратегия, для которой среднее значение выигрыша максимально

L = max avg ay

i j

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица при выборе оптимальной стратегии в условиях неопределенности рекомендует руководствоваться учетом как пессимистической, так и оптимистической оценками ситуации, т.е. опираться на некоторый средний результат. Критерий имеет вид:

Н = max [ X min ay + (1- X) max ay]

i J j

где X - коэффициент пессимизма, его значение выбирается на основе субъективных соображений в интервале от 0 до 1: чем опасней представляется ситуация, тем ближе к нулю выбирается значение этого коэффициента. Коэффициент пессимизма характеризует склонность игрока к риску в конкретной ситуации. При X = О критерий Гурвица становится критерием крайнего оптимизма (максимакса), при X = 1 — критерием крайнего пессимизма Вальда.

Выбор критерия в условиях неопределенности является субъективным. Несмотря на это анализ решений по этим критериям полезен, так как дает лучшее представление о ситуации, о достоинствах и недостатках каждого решения и, таким образом, повысит обоснованность конечного выбора стратегии.