I Таблиц* отклонений

xi	di = хi - х	di2
3,01 3,04 3,08 3,16 3,31	3,01 ‑ 3,12 = ‑ 0,11 3,04 ‑ 3,12 = ‑ 0,08 3,08 ‑ 3,12 = ‑ 0,04 3,16 ‑ 3,12 =0,04 3,31 ‑ 3,12 = 0,19	0,0121 0,0064 0,0016 0,0016 0,0361

3) Определяем стандартное отклонение по формуле (1.6):

4) Определяем полуширину доверительного интервала среднего хпо формуле (1.8) прип=5 иР=0,95:

Коэффициент Стьюдента заимствуем из табл. 1.1:

t_P,s = t_{0,95; 4}= 2,78

Тогда х = 2,78•0,12/5^0,5= 0,15.

Доверительный интервал среднего:х± х= 3,12 ± 0,15.

5) Рассчитываем относительную ошибку среднего по формуле (1.9):

 = (хх)100% = (0,15/3,12)100% = 4,8%

6) Составляем итоговую таблицу, представляющую результаты анализа.

Итоговая таблица

xi	3,01; 3,04; 3,08; 3,16; 3,31
n	5
х	3,12
s	0,12
х	0,15(P = 0,95)
х  х	3,12 ± 0,15
	4,8%

На этапе составления итоговой таблицы завершается представление результатов статистической обработки данных количественного анализа.

Нормальное распределение

Анализ экспериментальных данных показывает, что большие по значению погрешности наблюдаются реже, чем малые. Отмечается также, что при увеличении числа наблюдений одинаковые погрешности разного знака встречаются одинаково часто. Эти и некоторые другие свойства случайных погрешностей описываются нормальным распределением или уравнением Гаусса:

2.14

где (х) — плотность вероятности;— значение случайной величины; ц — генеральное среднее (математическое ожидание);2 — дисперсия.

Равные по площади кривые нормального распределения приведены на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Кривые нормального распределения при различной средней квадратичной погрешности

Как видно, чем больше стандартное отклонение (дисперсия), тем более пологой становится кривая.

Величины иназывают параметрами распределения. Уравнение (2.14) описывает плотность вероятности. Коэффициент 1/2— выбран так, чтобы вероятность попадания случайной величины х в интервал ‑< х <была равна единице:

2.15

При любых значениях иплощадь, ограниченная кривой (2.14) и осью абсцисс, равна единице. Очевидно, если через х1 и х2 провести ординаты, то случайная величина х попадает в интервал х1 < х < х2 с вероятностью

Расчеты показывают, что интеграл (2.15) в пределах от —до+составляет 68,3% общей площади, в пределах2уже 95% ее, а при3за интеграл равен практически всей площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс (99,7%). Интеграл (2.15), равный на рис. 2.2 заштрихованной площади, показывает вероятность Р появления результата xi в указанной области значений хk(от х ‑ kдо х + k). Эту величину вероятности называют доверительной вероятностью или статистической надежностью, интервал от‑ kдо+ k— доверительным интервалом, а границы интервала — доверительными границами. Таким образом, можно сказать, что доверительная вероятность получения результата в пределах от‑до+составляет 68,3%, т. е. в этих пределах лежит 2/3 всех результатов. Внутри пределов2будет находиться 95% всех значений, а диапазон3в охватывает 99,7%, т. е. практически все значения. Вероятность получения результата анализа, который будет находиться вне пределов интегрирования, равна:

 = 1 ‑Р.

Эту величину называют уровнем значимости. Классическая теория погрешностей, основанная на нормальном распределении, нашла широкое применение в астрономии, геодезии и других областях, где выполняется большое число измерений одной величины. Однако при обработке данных по анализу вещества она оказалась недостаточно эффективной, так как обычно приводила к заниженным, слишком оптимистичным значениям погрешности. Действительно, в соответствии с законом нормального распределения вероятность появления малых погрешностей значительно больше, чем вероятность появления больших, поэтому при небольшом числе наблюдений (параллельных проб) большие погрешности обычно не появляются, что и приводит к занижению погрешности, если небольшое число результатов обрабатывать в соответствии с нормальным распределением. Более корректная величина погрешности получается при использовании статистики малых выборок, развивающейся с начала XX в. (t-распределение, так называемое распределение Стьюдента и др.).-

Рис. 2.2. Интегрирование уравнения Гаусса и пределах:

а) ‑(68,3% );б)—2(95,0% );в)—3(99,7%, )

При расчетах окончательный результат обычно округляют. Округление следует проводить с соблюдением определенных правил, так как излишнее округление может ухудшить результаты анализа, а вычисления с неоправданно большим числом десятичных знаков без округления требуют больших, но напрасных затрат труда, поскольку не улучшают реальной точности результата.

При округлении обычно придерживаются следующих правил. Если за последней округляемой стоит цифра меньше 5, округляемую цифру оставляют без изменения (округление с уменьшением), а если больше 5, округляемую цифру увеличивают на единицу (округление с увеличением), например 4,7252 округляют до 4,725, но 4,7257 округляют до 4,726. Несколько сложнее правила округления, когда за последней округляемой цифрой стоит 5. Если за этой цифрой 5 нет более никаких цифр, то округляют до четной цифры, например, 4,7255 — 4,726, но 4,7245 - 4,724. Если за цифрой 5 имеется еще какая-либо отличная от нуля цифра, то округляют с увеличением, однако если 5 получено уже в результате округления, то округляют с уменьшением, т. е. 5 просто отбрасывают. Например, 4,72551 — 4,726, но 4,72548 - 4,7255 — 4,725.