(33)82.Как устроено множество решений линейной системы уравнений? Примеры.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь  — количество уравнений, а  — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

↑ назад в содержание ↑

(34)83.Что такое главные и свободные неизвестные системы? Примеры.

• Что такое главные и свободные неизвестные системы?

Начнем с того, что же называется ступенчатой системой, потому что именно там используется главные и свободные неизвестные системы. (это так, на случай если вдруг спросит)

Ступенчатой системой называют систему, в которой 1-ый отличный от нуля коэффициент каждого следующего уровня расположен правее коэффициента предыдущего уровня.

Главными неизвестными системы называют такие неизвестные, которые в строчке системы стоят левее всех и их нельзя заменить какими бы то ни было параметрами.

Свободными неизвестными системы называют неизвестные, которые стоят(или могут стоять) после главных неизвестных и могут быть заменены параметрами.

• Примеры:

Свободные члены мы можем заменить параметрами. Во всех примерах лучше начинать решать систему снизу вверх. Итак, в 3-ей строчке нет свободных членов, а значит нет и параметров. Во 2-ой строчке тоже нет свободных членов, т.к из 3-ей строки мы подставляем значение Х4 во 2-ую строку, и поэтому здесь тоже нет параметров. А вот в 1-ой строчке свободный член есть, это Х3. Поэтому Х3 следует заменить параметром t (условное обозначение для параметров; если их несколько, то обозначаются они t1, t2, t3, ect).

↑ назад в содержание ↑