(37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено? Примеры.

Умноже́ниема́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́ниемма́триц.

Произведением матрицы размеровна матрицуразмеровназывается матрицаразмеров, элементы которой вычисляются по формуле

(14.5)

где ,.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матрицсогласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

 Найти произведения матриц AB и BA, если

   и   

   Р е ш е н и е: Имеем

↑ назад в содержание ↑

(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что умножение матриц не коммутативно.

Коммутативность = Перестановочность.

Обычные числа переставлять можно: , а матрицы в общем случае не перестановочны: .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  нужно, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

Пример:  Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.  Например, для матриц,  и  возможно как умножение , так и умножение 

↑ назад в содержание ↑

(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная матрица?

Пусть a – квадратная матрица порядка n. Обратной к ней матрице называется такая матрица A^-1, что A^-1*A=E (здесь A^-1 и E – квадратные матрицы того же порядка, причём E – единичная матрица).

Это определение вовсе не подразумевает, что обратная матрица существует для любой матрицы A.

Примеры

1. 

2. не существует

3. не существует

(0 0) – эта строка приводит к тому, что первая строка произведения этой матрицы на любую другую состоит из одних нулей (в единичной матрице это не так)

Определения с википедии:
Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Единичная матрица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Исходная матрица А.

A =		1	2
		3	4

Найдем матрицу А-1 обратную к матрице А.

Для этого напишем расширенную матрицу , в левой части которой находится наша исходная матрица А, а в правой единичная.

Применяя метод Гаусса, последовательно будем приводить нашу исходную матрицу (левую часть расширенной матрицы) к единичной матрице. Причем совершенные преобразование мы будем применять ко всей расширенной матрице.

Приведя левую часть расширенной матрицы к единичной, правая часть будет являться обратной матрицей к нашей исходной.

Последовательность приведения левой части расширенной матрицы к единичной, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками элементам.

	1	2		1	0
	3	4		0	1

 Рассмотрим столбец 1.

К элементам стороки 2 прибавим соответствующие элементы строки 1 умноженные на -3.

	1	2		1	0
	0	- 2		- 3	1

 Рассмотрим столбец 2.

К элементам строки 1 прибавим соответствующие элементы строки 2.

	1	0		- 2	1
	0	- 2		- 3	1

Элементы строки 2 разделим на    -2 .

	1	0		- 2	1
	0	1		3 2	- 1 2

Ответ :

A-1 =		- 2	1
		3 2	- 1 2

↑ назад в содержание ↑