![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Численное решение линейных алгебраических систем (слау)
- •Прямые методы решения слау.
- •Формулы Крамера
- •Метод Гаусса.
- •Системы с диагональным преобладанием.
- •Системы с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки.
- •Обусловленность слау.
- •Норма матрицы.
- •Корректность решения слау.
- •Число обусловленности матрицы.
- •Оценка числа обусловленности.
- •Итерационные методы.
- •Построение итерационных последовательностей.
- •Проблема сходимости итерационного процесса.
- •Достаточные условия сходимости итерационного процесса.
- •Метод простой итерации.
- •Неявные итерационные методы. Метод Зейделя.
- •Метод верхней релаксации
Неявные итерационные методы. Метод Зейделя.
Вернемся к общей записи итерационного стационарного процесса в канонической форме .
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу:
.
Разложим её на сумму трех матриц
,
где
-
диагональная часть матрицы
,
которая содержит элементы
,
стоящие на главной диагонали:
,
-
нижняя треугольная матрица
,
-
верхняя треугольная матрица.
.
В классическом методе Зейделя, записанном в канонической форме, полагают
В результате формула принимает вид:
,
или
.
Перейдем от векторной формы записи рекуррентной формулы к построчной:
Уравнения
позволяют последовательно рассчитать
компоненты вектора
- ой итерации подобно тому, как это
делалось во время обратного хода в
методе Гаусса:
,
.
Формула
предполагает, что
,
.
Если матрица
удовлетворяет условиям теоремы Самарского
:
,
то, согласно неравенству , все ее
диагональные элементы должны быть
строго положительными и, тем самым, не
могут обращаться в ноль.
Алгоритм в методе Зейделя прост и удобен
для вычислений. Он не требует никаких
действий с матрицей
.
Ранее вычисленные на текущей итерации
компоненты
сразу же участвуют в расчетах наряду с
компонентами
и, таким образом, не требуют дополнительного
резерва памяти, что существенно при
решении больших систем.
Сходимость метода Зейделя в случае,
когда матрица
удовлетворяет условию теоремы Самарского,
т.е. является самосопряженной и
положительно определенной, будет
доказана в следующем разделе. К этому
утверждению добавим без доказательства
еще один результат: метод Зейделя
сходится для любой системы , в которой
матрица
обладает свойством диагонального
преобладания.
Задача 3.
Рассмотреть систему (см. задачу 2) и построить для нее приближенное решение с помощью метода Зейделя.
В
рассматриваемом случае рекуррентные
формулы для построения
-ой итерации по
-ой
итерации принимают вид:
Принимая, как и при решении задачи 2, за начальное приближение нулевой вектор, подсчитаем по формулам несколько первых итераций, сопровождая этот процесс подсчетом невязки:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Обсудим полученные результаты. Начнем
с невязки. Ее вторая компонента все
время остается равной нулю, поскольку
второе уравнение системы на каждой
итерации выполняется, как видно из ,
точно. Первые компоненты невязки и норма
убывают по закону геометрической
прогрессии с знаменателем
,
т.е. гораздо быстрее, чем в методе простой
итерации. Хорошая сходимость процесса
видна также из прямого сравнения членов
итерационной последовательности
с точным решением системы
.
Метод верхней релаксации
Модифицируем метод Зейделя. С этой целью
введем параметр
и запишем рекуррентное соотношение
в виде
.
В данном случае
,
.
При
мы возвращаемся к методу Зейделя.
Соотношению можно придать вид
.
Такая форма
записи показывает, что параметр
влияет на диагональ матрицы
.
Для построения алгоритма вычисления
очередной итерации нужно разделить в
левой части рекуррентной формулы
члены, содержащие
и
, и придать ей форму, аналогичную :
.
Если перейти
от векторной записи к записи типа в
виде отдельных уравнений, то можно
получить для компонент
очередной итерации формулы, структурно
похожие на :
,
.
Исследуем условия сходимости метода
верхней релаксации при дополнительном
предположении, что матрица
удовлетворяет условиям теоремы Самарского
. Самосопряженность матрицы
означает, что
,
.
Отсюда следует
.
Составим для рассматриваемого случая
матрицу
.
Согласно
.
Запишем условие ее положительной определенности
.
Второе слагаемое в выражении не дает вклада в квадратичную форму в силу соотношения .
Матрица
является, по предположению, положительно
определенной. Следовательно, все ее
диагональные элементы строго положительны:
,
.
Это означает положительную определенность
матрицы
:
.
В результате знак выражения определяется
знаком первого множителя, так что
достаточное условие для сходимости
итерационной последовательности метода
верхней релаксации принимает вид:
Метод Зейделя,
соответствующий случаю
,
удовлетворяет этому условию.
Можно поставить вопрос об оптимальном
выборе параметра
,
при котором метод сходится быстрее
всего. Теоретическое исследование, на
котором мы не будем останавливаться,
показывает, что такое значение существует
и может быть выражено через наибольшее
и наименьшее собственные значение
матрицы
.
Однако на практике его приходится
подбирать экспериментально методом
проб и ошибок, поскольку найти
и
с достаточной точностью удается в редких
случаях.
Задача 4
Построить
приближенное решение системы
методом верхней релаксации, полагая
.
Выпишем для рассматриваемого случая
матрицы
и
,
определяющие итерационный процесс:
,
.
С их помощью рекуррентное соотношение , записанное покомпонентно, принимает вид:
Выражая из
первого соотношения
,
из второго
,
получим окончательные расчетные формулы
для компонент очередной итерации:
Примем, как и в предыдущих случаях, за начальное приближение нулевой вектор и сделаем три итерации. При этом для каждой из них подсчитаем невязку , позволяющую следить за сходимостью процесса
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Поведение невязок, а
также сравнение членов итерационной
последовательности
с точным решением системы
показывают сходимость процесса, более
быструю, чем в методе Зейделя. Выбранное
значение параметра
оказалось близким к оптимальному
.